maximal ideal

摘要： 1. 全序集\(A\)具有上确界性质当且仅当它具有下确界性质。 证明 设全序集\(A\)具有上确界性质。那么对于任意非空子集\(A_0\)，定义其下界集合\(A_1\)为 \[A_1=\{x|\text{对于任意}a\in A_0,x\leqslant a\} \] 若\(A_0\)有下界，则\(A 阅读全文

摘要： 从某种意义上来说，关系是一个比函数更为广泛的概念。本节将给出数学研究中常常出现的两种关系：等价关系和全序关系。 定义 集合\(A\)上的一个关系（relation）是笛卡尔积\(A\times A\)的一个子集\(C\)。 如果\(C\)是\(A\)中的一个关系，我们用记号\(xCy\)表示\((x 阅读全文

摘要： 1. 两个单射的复合还是单射，两个满射的复合还是满射，从而两个一一对应复合还是一个一一对应。 证明 设\(f:A\rightarrow B\)，\(g:B\rightarrow C\)分别为两个函数，其复合函数为\(g\circ f:A\rightarrow C\)。当这两个函数为单射时，有 $$( 阅读全文

摘要： 1. 验证“分配律” \[A\cap(B\cup C) = (A\cap B)\cup(A\cap C) \]\[A\cup(B\cap C) = (A\cup B)\cap(A\cup C) \]和DeMorgan律 \[A - (B\cup C) = (A - B)\cap (A - C) \] 阅读全文

摘要： 函数这个概念相信大家都不陌生，但在这一节中，我们将严格定义函数，并讨论相关运算与性质，如复合、单的、满的。 首先，给出以下定义： 定义 指派法则（rule of assignment）是两个集合的笛卡尔积\(C\times D\)的一个子集\(R\)，该子集满足这样的条件：\(C\)的每一个元素最多 阅读全文

摘要： 基本记号 在本系列中，我们通常使用大写字母\(A,B,\cdots\)表示集合（set），用小写字母\(a,b,\cdots\)表示属于集合的成员（object）或元素（element）。集合有时简称为集，元素有时简称为元。如果成员\(a\)属于集合\(A\)，就记作 \[a\in A \]如果\( 阅读全文

摘要： 近段时间，我打算学习拓扑动力系统，遍历理论等相关理论。这些理论涉及到了大量拓扑学知识，而我以前只看过两三遍拓扑学参考教材，却始终只知大概，具体的知识体系和证明思路并没有细究。于是，便趁着这个机会复习回顾，同时也尽量做到易懂详细，让读者朋友们也能进入拓扑学的奇妙世界。先说下本系列的定位，本系列旨在带领 阅读全文