maximal ideal

摘要： 在讨论归纳定义原理的一般形式之前，首先证明它的一个特殊情况——引理 7.2的证明中用到过这种情况。它有助于对一般情况的讨论，使证明中的关键思想更为清晰。 对此，给定\(\mathbb{Z}_+\)的无限子集\(C\)，考虑函数\(h:\mathbb{Z}_+\rightarrow C\)的下述归纳公 阅读全文

摘要： 如同正整数的截是有限集的样本那样，所有正整数的集合\(\mathbb{Z}_+\)就是可数无限集的样板。本节将研究这种集合，还要构造一些既不是有限集也不是可数无限集的集合。这种研究将引导我们去讨论“归纳定义”过程的含义。 定义 一个集合\(A\)称为无限的（infinite），如果它不是有限集。一个 阅读全文

摘要： 有限这个概念，读者应该从小学开始就有了直观的感受——能一个个数出来，并且数完的就是有限的。现在，我们将这个概念抽象化严谨化。 回想一下，如果\(n\)是一个正整数，用\(S_n\)表示全体小于\(n\)的正整数集合，并称之为正整数的一个截。集合\(S_n\)就是有限集的样板。 定义 集合\(A\)称 阅读全文

摘要： 前面我们已经定义了两个集合的笛卡尔积\(A\times B\)。现介绍更为一般的笛卡尔积。 定义 设\(\mathcal{A}\)是一个非空集族。\(\mathcal{A}\)的指标函数（indexing function）是从某一个集合\(J\)到\(\mathcal{A}\)的一个满射\(f\) 阅读全文

摘要： 前面我们讨论的都是拓扑学的逻辑基础——集合论的一些基本概念。现转入讨论其数学基础——整数与实数系。 建立起这些基础的一个办法是，仅仅使用集合论公理来构造实数系，也就是说，赤手空拳地干。这样处理问题要花费很多时间和精力，并且其中逻辑的意味远远超过数学。第二种方法比较简单，它假定已有实数的一些公理，从这 阅读全文

摘要： 1. 仅用公理(1)-(5)证明\(\mathbb{R}\)的下述“代数定律”： (a) 若\(x+y=x\)，则\(y=0\)； (b) \(0\cdot x=0\)； (c) \(-0=0\)； (d) \(-(-x)=x\)； (e) \(x(-y)=-(xy)=(-x)y\)； (f) \( 阅读全文

摘要： 1. 全序集\(A\)具有上确界性质当且仅当它具有下确界性质。 证明 设全序集\(A\)具有上确界性质。那么对于任意非空子集\(A_0\)，定义其下界集合\(A_1\)为 \[A_1=\{x|\text{对于任意}a\in A_0,x\leqslant a\} \] 若\(A_0\)有下界，则\(A 阅读全文

摘要： 从某种意义上来说，关系是一个比函数更为广泛的概念。本节将给出数学研究中常常出现的两种关系：等价关系和全序关系。 定义 集合\(A\)上的一个关系（relation）是笛卡尔积\(A\times A\)的一个子集\(C\)。 如果\(C\)是\(A\)中的一个关系，我们用记号\(xCy\)表示\((x 阅读全文

摘要： 1. 两个单射的复合还是单射，两个满射的复合还是满射，从而两个一一对应复合还是一个一一对应。 证明 设\(f:A\rightarrow B\)，\(g:B\rightarrow C\)分别为两个函数，其复合函数为\(g\circ f:A\rightarrow C\)。当这两个函数为单射时，有 $$( 阅读全文

摘要： 1. 验证“分配律” \[A\cap(B\cup C) = (A\cap B)\cup(A\cap C) \]\[A\cup(B\cap C) = (A\cup B)\cap(A\cup C) \]和DeMorgan律 \[A - (B\cup C) = (A - B)\cap (A - C) \] 阅读全文

摘要： 函数这个概念相信大家都不陌生，但在这一节中，我们将严格定义函数，并讨论相关运算与性质，如复合、单的、满的。 首先，给出以下定义： 定义 指派法则（rule of assignment）是两个集合的笛卡尔积\(C\times D\)的一个子集\(R\)，该子集满足这样的条件：\(C\)的每一个元素最多 阅读全文

摘要： 基本记号 在本系列中，我们通常使用大写字母\(A,B,\cdots\)表示集合（set），用小写字母\(a,b,\cdots\)表示属于集合的成员（object）或元素（element）。集合有时简称为集，元素有时简称为元。如果成员\(a\)属于集合\(A\)，就记作 \[a\in A \]如果\( 阅读全文

摘要： 近段时间，我打算学习拓扑动力系统，遍历理论等相关理论。这些理论涉及到了大量拓扑学知识，而我以前只看过两三遍拓扑学参考教材，却始终只知大概，具体的知识体系和证明思路并没有细究。于是，便趁着这个机会复习回顾，同时也尽量做到易懂详细，让读者朋友们也能进入拓扑学的奇妙世界。先说下本系列的定位，本系列旨在带领 阅读全文