关系

 从某种意义上来说，关系是一个比函数更为广泛的概念。本节将给出数学研究中常常出现的两种关系：等价关系和全序关系。

 定义 集合\(A\)上的一个关系（relation）是笛卡尔积\(A\times A\)的一个子集\(C\)。

 如果\(C\)是\(A\)中的一个关系，我们用记号\(xCy\)表示\((x,y)\in C\)，读作“\(x\)与\(y\)有关系\(C\)”。

 前面我们所学到的函数\(f:A\rightarrow A\)的指派法则\(R\)其实也是一种特殊的关系，它使得\(A\)的每一个元素作为\(R\)的元素的第一个分量恰好出现一次。而\(A\times A\)的任意子集都是关系。

等价关系与分拆

 集合\(A\)中的一个等价关系（equivalence relation）是\(A\)上满足下面三条性质的一个关系\(C\)：

 (1)（自反性）对于\(A\)中每一个\(x\)，有\(xCx\)；
 (2)（对称性）若\(xCy\)，则\(yCx\)；
 (3)（传递性）若\(xCy\)和\(yCz\)，则\(xCz\)。

 虽然关系是一个集合，但并不一定要用大写字母或任何类型的字母来记关系。用另外的符号将更为合适。经常用以表示一个等价关系的是波浪号\(\sim\)。应用这个记号，等价关系的性质可写成：

 (1)（自反性）对于\(A\)中每一个\(x\)，有\(x\sim x\)；
 (2)（对称性）若\(x\sim y\)，则\(y\sim x\)；
 (3)（传递性）若\(x\sim y\)和\(y\sim z\)，则\(x\sim z\)。

 不难看出，等价关系将我们最常见的等于关系=进行了推广，使其能在更广泛的集合、更多样的意义下使用。学习等价关系时，读者可以参照=进行类比学习，但要注意区分二者的不同。

 给定集合\(A\)的一个等价关系\(\sim\)，和\(A\)的一个元素\(x\)，可以由下式定义\(A\)的子集\(E\)，称为由\(x\)决定的等价类（equivalence class）:

\[E=\{y|y\sim x\} \]

注意，由\(x\)决定的等价类\(E\)包含\(x\)，这是因为\(x\sim x\)，等价类具有以下性质：

 引理 3.1 两个等价类\(E\)和\(E'\)或者无交或者相等。

 证明 设\(E\)是由\(x\)决定的等价类，\(E'\)是由\(x'\)决定的等价类。若\(E\cap E'\ne \varnothing\)，则有\(y\in E\cap E'\)。下面证明\(E=E'\)。

 根据定义可知\(y\sim x\)和\(y\sim x'\)。根据对称性可知\(x\sim y\)和\(y\sim x'\)。应用传递性则有\(x\sim x'\)。若\(w\)为\(E\)的任意一点，根据定义有\(w\sim x\)。再用一次传递性得到\(w\sim x'\)。因此\(E\subset E'\)。

 可以完全对称地推出\(E'\subset E\)，所以\(E=E'\)。

$\square$

 给定集合$A$上的一个等价关系，用$\mathcal{E}$记由这个关系决定的所有等价类的族。上述引理证明了$\mathcal{E}$中不同元素无交。进一步，由于$A$的每一个元素属于某一等价类中，于是$\mathcal{E}$中元素的并等于$A$。族$\mathcal{E}$就是称之为$A$的分拆的一特例。

 定义 集合\(A\)的一个分拆（partition）是\(A\)的无交非空子集的一个族，其并是\(A\)。

 所谓的分拆，其实就是将集合\(A\)像切西瓜一样分成几个无交非空子集，并将这些子集放在一个集合内。

 既然\(A\)的每一个等价关系都对应于\(A\)的一个分拆，那么\(A\)的每一个分拆是否对应一个等价关系呢？答案是肯定的。要证明这一点并不难。对于\(A\)的分拆\(\mathcal{E}\)，我们定义\(A\)上的等价关系\(C\)为

\[xCy\iff \text{存在}E\in \mathcal{E},\text{使得}x,y\in E \]

 要验证\(C\)的自反性，注意到\(\mathcal{E}\)的并是\(A\)，对任意\(x\in A\)，一定存在\(E\in \mathcal{E}\)，使得\(x\in E\)。故\(xCx\)。对称性的验证显然。而对于传递性，当\(xCy\)，\(yCz\)时，有\(x,y\in E\)，\(y,z\in E'\)，\(E\)和\(E'\)都含\(y\)，其不是无交的。由\(\mathcal{E}\)的无交性可知\(E=E'\)，故\(x,z\in E=E'\)，有\(xCz\)。容易验证，\(C\)是由\(\mathcal{E}\)唯一确定的，我们定义的\(C\)的等价类就是\(\mathcal{E}\)。总之，一个集合上的等价关系与该集合的分拆一一对应。

序关系

 集合\(A\)中的一个关系\(C\)称为序关系（order relation）（或全序（simple order），线序（linear order）），如果满足下列性质：

 (1)（可比较性）对于\(A\)中满足\(x\ne y\)的每一个\(x\)和\(y\)，或者\(xCy\)，或者\(yCx\)；
 (2)（非自反性）\(A\)中没有\(x\)，使得\(xCx\)成立；
 (2)（传递性）若\(xCy\)并且\(yCz\)都成立，则\(xCz\)。

具有全序关系\(C\)的集合\(A\)我们称之为全序集（totally ordered set）。

 请注意，性质(1)并没有排除\(A\)中可能有某元素偶对\(x\)，\(y\)，使\(xCy\)和\(yCx\)都成立（还记得基本概念这一节中集合的“并”与“或”的含义关于“或”含义的讨论吗？）。但是与性质(2)和(3)合在一起，就排除了这种可能：如果\(xCy\)和\(yCx\)都成立，由传递性可知\(xCx\)，这与非自反性矛盾。

 不难发现，其实序关系是大于关系\(>\)和小于关系\(<\)的推广。读者可类比它们进行序关系的学习，但要注意区分不同之处。

 正如用波浪号\(\sim\)表示等价关系一样，小于符号\(<\)往往用来表示一个全序关系。用这个记号，就可以把一个全序关系的性质写成：

 (1)（可比较性）对于\(A\)中满足\(x\ne y\)的每一个\(x\)和\(y\)，或者\(x<y\)，或者\(y<x\)；
 (2)（非自反性）\(A\)中没有\(x\)，使得\(x<x\)成立；
 (2)（传递性）若\(x<y\)并且\(y<z\)都成立，则\(x<z\)。

 我们把“或者\(x<y\)，或者\(x=y\)”论断用记号\(x\leqslant y\)表示，“\(x<y\)”论断用\(y>x\)表示。我们用\(x<y<z\)表示“\(x<y\)和\(y<z\)”。

 定义 若\(X\)是一个集合，\(<\)为\(X\)上的一个全序关系。对于\(a<b\)，我们用记号\((a,b)\)表示集合

\[\{x|a<x<b\} \]

并且称之为\(X\)中的一个开区间（open interval）。如果这个集合是空集，则称\(a\)为\(b\)的紧接前元（immediate predecessor），\(b\)为\(a\)的紧接后元（immediate successor）。

 定义 设\(A\)和\(B\)是分别有全序关系\(<_A\)和\(<_B\)的两个集合。\(A\)和\(B\)称为序型（order type）相同的，如果在它们之间有一个一一保序对应，也就是存在一个一一对应\(f:A\rightarrow B\)，使得

\[a_1<_A a_2\Longrightarrow f(a_1) <_B f(a_2) \]

 下面是定义全序关系的一种有趣方式，它在以后的例子中将会被用到。

 定义 设\(A\)和\(B\)是分别有全序关系\(<_A\)和\(<_B\)的两个集合。\(A\times B\)上的全序关系定义为：当\(a_1<_A a_2\)，或者当\(a_1=a_2\)并且\(b_1 <_B b_2\)时

\[a_1\times b_1 < a_2\times b_2 \]

它称为\(A\times B\)上的字典序关系（dictionary order relation）（对\(a_1\times a_2\)含义有疑惑的读者请阅读基本概念这一节的笛卡尔积）。

 可以验证字典序关系满足序关系的性质。该证明较简单，读者可自行分情况证明。

 字典序关系这个概念的名称与定义符合地很好。事实上，其大小关系的定义与英文字典排列单词的方式类似——首先按首字母a到z排列，若首字母相同，则看第二个字母，依此类推。

 设\(A\)为具有全序关系\(<\)的集合，\(A_0\)为\(A\)的一个子集。如果\(b\in A_0\)并且对于任意\(x\in A_0\)有\(x\leqslant b\)，则称元素\(b\)为\(A_0\)的最大元（largest element）。类似地，如果\(a\in A_0\)并且对于任意\(x\in A_0\)有\(a\leqslant x\)，则称元素\(a\)为\(A_0\)的最小元（smallest element）。容易看出，一个集合最多有一个最大元，也最多有一个最小元。

 满足下列条件时，我们说\(A\)的子集\(A_0\)是有上界的（bounded above）:如果存在\(A\)的一个元素\(b\)，对于任意\(x\in A_0\)，有\(x\leqslant b\)，元素\(b\)称为\(A_0\)的一个上界（upper bound）。如果\(A_0\)的所有上界的集合有一个最小元，则称它为\(A_0\)的上确界（least upper bound, supremum），记作\(\sup A_0\)。上确界可以属于\(A_0\)，也可以不属于\(A_0\)。如果它属于\(A_0\)，就是\(A_0\)的最大元。

 类似地，我们说\(A_0\)是有下界的（bounded below）:如果存在\(A\)的一个元素\(a\)，使得对于任意\(x\in A_0\)，有\(a\leqslant x\)，元素\(a\)称为\(A_0\)的一个下界（lower bound）。若\(A_0\)的所有下界的集合有一个最大元，则称它为\(A_0\)的下确界（greatest lower bound, infimum），记作\(\inf A_0\)。下确界可以属于\(A_0\)，也可以不属于\(A_0\)。如果它属于\(A_0\)，就是\(A_0\)的最小元。

 现在定义上确界性质。

 定义 如果全序集\(A\)的每一个有上界的非空子集\(A_0\)必有上确界，则称\(A\)具有上确界性质（least upper bound property）。同样，如果全序集\(A\)的每一个有下界的非空子集\(A_0\)必有下确界，则称\(A\)有下确界性质（greatest lower bound property）。

 读者可自行证明，\(A\)具有上确界性质当且仅当它具有下确界性质。具体见证明[1]。

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