函数

 函数这个概念相信大家都不陌生，但在这一节中，我们将严格定义函数，并讨论相关运算与性质，如复合、单的、满的。

 首先，给出以下定义：

 定义 指派法则（rule of assignment）是两个集合的笛卡尔积\(C\times D\)的一个子集\(R\)，该子集满足这样的条件：\(C\)的每一个元素最多是\(R\)中一个有序偶对的第一个分量。

 这样，\(C\times D\)的一个子集\(R\)如果满足

\[(c,d)\in R\text{并且}(c,d')\in R \Longrightarrow d=d' \]

则成为一个指派法则。简单来说，指派法则为每个第一个分量指派唯一的第二个分量。不同的第一个分量可能对应同一个第二个分量，但一个第一个分量一定只能对应一个第二个分量。即只允许一对一或多对一，而不允许一对多。

 对于一个指派法则\(R\)，其定义域（domain）是由\(R\)的元素的所有第一个分量组成的\(C\)的子集，其像集（image set）是由\(R\)的元素的所有第二个分量组成的\(D\)的子集，即

\[R\text{的定义域}=\{c|\text{存在}d\in D,\text{使得}(c,d)\in R\} \]

\[R\text{的像集}=\{d|\text{存在}c\in C,\text{使得}(c,d)\in R\} \]

给定一个指派法则\(R\)，其定义域和像集将完全确定。

 现在来定义函数。

 定义 函数（function）\(f\)是一个指派法则\(R\)，连同一个包含\(R\)的像集的集合\(B\)。法则\(R\)的定义域\(A\)，称为函数\(f\)的定义域（domain）。\(R\)的像集就称为\(f\)的像集（image set）。集合\(B\)称为函数\(f\)的值域（range）。此外，对应、映射都是函数的同义词。

 需要注意的是，一个函数的值域并不一定等于像集。事实上，值域包含像集。

 若\(f\)是以\(A\)为定义域，\(B\)为值域的一个函数，我们就写作

\[f:A\longrightarrow B \]

读作“\(f\)是一个从\(A\)到\(B\)的函数”，或“\(f\)是从\(A\)到\(B\)的一个映射”，或者简单地说“\(f\)将\(A\)映到\(B\)中”。

 如果\(f:A\rightarrow B\)，并且\(a\in A\)，那么\(f(a)\)表示在法则\(R\)下\(B\)中给\(a\)配置的那个唯一元素，称为\(f\)在\(a\)点的值（value），有时也称为\(a\)在\(f\)下的像（image）或像集。正式地说，如果\(R\)是函数\(f\)的法则，\(f(a)\)就是使\((a,f(a))\in R\)的\(B\)的那个唯一的元素。

 使用这种表示法，可以把我们学过的几乎所有的函数表达地更加严谨，例如，我们可以说（\(\mathbb{R}\)表示实数集）:

"$f$是一个函数，它的法则是$\{(x,x^3+1)|x\in\mathbb{R}\}$，值域是$\mathbb{R}$。"

也可以等价地说

"$f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}$是一个函数，使得$f(x)=x^3 + 1$。"

两种说法都相当精确地描述了同一个函数。但是，如果说“\(f\)是函数，\(f(x)=x^3+1\)”就很不妥当，因为它既没有指出\(f\)的定义域，也没有给出它的值域。

 通过缩小函数的定义域，我们可以得到新的函数。

 定义 设\(f:A\rightarrow B\)，\(A_0\)为\(A\)的一个子集，\(f\)在\(A_0\)上的限制（restriction）定义为将\(A_0\)映射到\(B\)中的一个函数，其法则是

\[\{(a,f(a))|a\in A_0\} \]

记作\(f|A_0\)，读成“\(f\)在\(A_0\)上的限制”。

 类似地，我们也可以改变函数的值域，得到新的函数。另外，我们也可以将两个函数复合，得到新的函数。

 定义 已知函数\(f:A\rightarrow B\)和\(g:B\rightarrow C\)，\(f\)和\(g\)的复合（composition）\(g\circ f\)是一个函数\(g\circ f:A\rightarrow C\)，定义为\((g\circ f)(a)=g(f(a))\)。

 注意，\(g\circ f\)仅仅在\(f\)的值域等于\(g\)的定义域时才有意义。

 进一步，我们可以分析函数本身的性质。

 定义 函数\(f:A\rightarrow B\)称为单的（injective），如果\(A\)中不同的点在\(f\)下的像各不相同。函数\(f:A\rightarrow B\)称为满的（surjective）（或\(f\)将\(A\)映满\(B\)），如果\(B\)的每一个元素都是\(A\)中某元素在\(f\)下的像。如果\(f\)既是单的又是满的，则称\(f\)为既单又满的（bijective），或一一的（one-to-one）。此外单的函数称为单射（injection），满的函数称为满射（surjection），一一的函数称为一一对应（one-to-one correspondence, one-to-one map）。

 更正式的定义是，如果

\[f(a)=f(a')\Longrightarrow a=a' \]

则\(f\)是单射。

 如果

\[b\in B\Longrightarrow \text{存在}a\in A,\text{使得}b=f(a) \]

则\(f\)是满射。

 \(f\)是否是单射仅仅取决于它的法则，而它是否是满射则还要依赖于其值域。不难证明，两个单射的复合还是单射，两个满射的复合还是满射，从而两个一一对应复合还是一个一一对应。证明见[1]。

 如果\(f\)是一个一一对应，则存在从\(B\)到\(A\)的一个函数，称为\(f\)的逆（inverse），记作\(f^{-1}\)，其元素\(f^{-1}(b)\)定义为\(A\)中满足\(f(a)=b\)的那个唯一元素\(a\)。对于\(b\in B\)，由于\(f\)是满射，可见这样的元素\(a\in A\)是存在的；由于\(f\)是单射，可见仅有一个这样的元素\(a\in A\)。显然，如果\(f\)是一一对应，则\(f^{-1}\)也是一一对应。

 为了判定一个函数是一一对应的，一个常用的方法是以下的引理。

 引理 2.1 设\(f:A\rightarrow B\)。如果存在函数\(g:B\rightarrow A\)和\(h:B\rightarrow A\)，使得对于\(A\)中每一个\(a\)，\(g(f(a))=a\)，并且对于\(B\)中每一个\(b\)，\(f(h(b))=b\)，则\(f\)是一个一一对应，并且\(g=h=f^{-1}\)。

 引理 2.1的证明见[2]。

 定义 设\(f:A\rightarrow B\)。\(A_0\)是\(A\)的一个子集，用\(f(A_0)\)表示\(A_0\)中的点在\(f\)下的像的集合，这个集合称为\(A_0\)在\(f\)下的像（image）。正式的定义是

\[f(A_0) = \{b|\text{存在}a\in A_0,b=f(a)\} \]

另一方面，若\(B_0\)是\(B\)的一个子集，用\(f^{-1}(B_0)\)表示\(A\)中那些元素的集合，它们在\(f\)下的像属于\(B_0\)。\(f^{-1}(B_0)\)称为\(B_0\)在\(f\)下的原像（preimage）（或\(B_0\)的“反像”或“逆像”）。正式的定义是

\[f^{-1}(B_0) = \{a|f(a)\in B_0\} \]

当然，有可能\(A\)中任何点的像都不在\(B_0\)中，这时，\(f^{-1}(B_0)=\varnothing\)。

 需要注意的是，一般来说，\(f^{-1}(f(A_0))=A_0\)与\(f(f^{-1}(B_0))=B_0\)并不成立。而是满足以下式子

\[f^{-1}(f(A_0))\supset A_0 \]

\[f(f^{-1}(B_0))\subset B_0 \]

进一步，如果\(f\)为单射，则第一个包含关系可以改写为等式；如果\(f\)为满射，则第二个包含关系可改写为等式。证明见[3]。

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