整数与实数

 前面我们讨论的都是拓扑学的逻辑基础——集合论的一些基本概念。现转入讨论其数学基础——整数与实数系。

 建立起这些基础的一个办法是，仅仅使用集合论公理来构造实数系，也就是说，赤手空拳地干。这样处理问题要花费很多时间和精力，并且其中逻辑的意味远远超过数学。第二种方法比较简单，它假定已有实数的一些公理，从这些公理出发进行讨论。本节大体上就是这样处理实数的。

 首先，我们将要用到集合论中的一个定义。

 定义 集合\(A\)中的一个二元运算（binary operation）是将\(A\times A\)映到\(A\)中的一个函数\(f\)。

 对于集合\(A\)中的二元运算\(f\)，往往使用一种与函数这一节引进的标准函数记号不同的记号。函数\(f\)在\((a,a')\)处的值不用\(f(a,a')\)，而是把函数符号写在两个分量中间，即用\(afa'\)表示。与关系的情况一样，今后也经常使用一些不同于字母的符号来表示一个运算。常用的符号有加号（\(+\)）、乘号（\(\cdot\)）和（\(\circ\)），以及星号（*）等等。

假定

 我们假定有一个称为实数（real numbers）的集合\(\mathbb{R}\)，在\(\mathbb{R}\)上有分别称之为加法运算和乘法运算的两个二元运算\(+\)和\(\cdot\)，以及\(\mathbb{R}\)上的一个全序关系\(<\)，它们具有以下性质：

 代数性质
 (1) \((x+y)+z=x+(y+z)\)和\((x\cdot y)\cdot z = x\cdot (y\cdot z)\)对于\(\mathbb{R}\)中的所有\(x\)，\(y\)，\(z\)成立；
 (2) \(x+y=y+x\)和\(x\cdot y=y\cdot x\)对于\(\mathbb{R}\)中的所有\(x\)，\(y\)成立；
 (3) \(\mathbb{R}\)中有唯一的一个元素，称为零（zero），记作\(0\)，它使得对于所有\(x\in\mathbb{R}\)，\(x+0=x\)。\(\mathbb{R}\)中有唯一的一个不是0的元素，称为一（one），记作\(1\)，它使得对于所有\(x\in\mathbb{R}\)，\(x\cdot 1 = x\)；
 (4) 对于\(\mathbb{R}\)中每一个\(x\)，存在\(\mathbb{R}\)中唯一的一个\(y\)，使得\(x+y=0\)；对于\(\mathbb{R}\)中每一个\(x\ne 0\)，存在\(\mathbb{R}\)中唯一的一个\(y\)，使得\(x\cdot y = 1\)；
 (5) \(x\cdot(y+z)=(x\cdot y) + (x\cdot z)\)对于所有\(x,y,z\in \mathbb{R}\)成立。

 代数与序的混合性质
 (6) 若\(x>y\)，则\(x+z>y+z\)。若\(x>y\)和\(z>0\)，则$x\cdot z > y\cdot z $；

 序性质
 (7) 全序关系\(<\)具有上确界性质；
 (8) 若\(x<y\)，则存在一个元素\(z\)，使得\(x<z\)和\(z<y\)成立。

 根据性质(1)-(5)即可得到熟知的“代数定理”。给定\(x\)，用\(-x\)记满足\(x+y=0\)的数\(y\)。\(-x\)称为\(x\)的负元（negative element）。我们通过公式\(z-x=z+(-x)\)定义减法运算（subtraction operation）。类似地，对于\(x\ne 0\)，用\(1/x\)记使得\(x\cdot y=1\)成立的数\(y\)。\(1/x\)称为\(x\)的倒数（reciprocal）。我们通过公式\(z/x=z\cdot (1/x)\)定义商（quotient）。常用的代数定律都可由性质(1)-(5)推出，具体见证明[1]。\(x\cdot y\)常简单地记为\(xy\)。

 将性质(6)和性质(1)-(5)结合在一起，可证明通常的“不等式法则”。具体见证明[2]。

 若\(x>0\)，则定义\(x\)为正数（positive number）；若\(x<0\)，则定义\(x\)为负数（negative number）。全体正实数记作\(\mathbb{R}_+\)，全体非负实数记作\(\bar{\mathbb{R}}_-\)（理由将在后面说明）。具有两个满足性质(1)-(5)二元运算的任何集合，在代数学中称为一个域（field），具有满足性质(6)的全序关系的域，称为一个有序域（ordered field）。

 另一方面，性质(7)和(8)是拓扑学中熟知的性质，它们仅涉及全序关系，具有满足性质(7)和(8)的全序关系的任何集合，在拓扑学中称为线性连续统（linear continuum）。

 将有序域的公理（性质(1)-(6)）与关于线性连续统的公理（性质(7)-(8)）合起来，我们会发现有些结果重复了。特别地，性质(8)可以由另外几个性质推出来；对于\(x<y\)，能够证明\(z=(x+y)/(1+1)\)满足性质(8)的条件（具体见证明[2]）。因此，在实数理论中，仅将性质(1)-(7)作为公理假设，而将性质(8)作为一个定理。我们之所以在实数的基本性质中还要提及性质(8)，那是为了要强调，性质(8)和上确界性质是实数中全序关系的两个主要性质。从它们可以导出\(\mathbb{R}\)的许多拓扑性质，在第三章中将会看到这一点。

 这一系列性质并没有告诉我们什么是整数。现在我们仅仅用性质(1)-(6)来定义整数。

 定义 实数集的一个子集\(A\)称为归纳的（inductive），如果它包含着数\(1\)，并且只要\(x\in A\)，则必有\(x+1\in A\)。设\(\mathcal{A}\)为\(\mathbb{R}\)中所有包含\(1\)的归纳子集的族。正整数（positive integer）集\(\mathbb{Z}_+\)定义为

\[\mathbb{Z}_+ = \bigcap_{A\in\mathcal{A}}A \]

 注意，正实数集\(\mathbb{R}_+\)包含\(1\)并且是归纳集（若\(x>0\)，则\(x+1>0\)），于是\(\mathbb{R}_+\in \mathcal{A}\)。因此\(\mathbb{Z}_+\subset \mathbb{R}_+\)，\(\mathbb{Z}_+\)都是正数。因为所有实数\(x\)（\(x\geqslant 1\)）的集合是归纳集并且包含\(1\)，所以\(1\)就是\(\mathbb{Z}_+\)的最小元。

 从这个定义出发不难得出\(\mathbb{Z}_+\)的基本性质：

 (1) \(\mathbb{Z}_+\)是归纳集；
 (2) （归纳原理）若\(A\)是包含\(1\)的正整数的一个归纳集，则\(A=\mathbb{Z}_+\)。

 这两条性质的证明见[3]。

 归纳原理正是我们使用数学归纳法的基础。假设我们想要证明一个关于正整数集的论断，我们可以令\(A\)为使得论断\(P\)成立的所有正整数的集合。证明论断\(P\)关于\(1\)成立，即\(1\in A\)。证明若\(n\)时论断\(P\)成立，\(n+1\)时论断\(P\)也成立，也就是说\(n\in A\)时，\(n+1\in A\)。故由归纳原理可知，\(A=\mathbb{Z}_+\)。由此可知论断\(P\)对于所有正整数成立。

 整数（integer）集\(\mathbb{Z}\)定义为由正整数\(\mathbb{Z}_+\)，数\(0\)及\(\mathbb{Z}_+\)中元素的负数（称之为负整数）组成的集合。可以证明两个整数的和、差、积是整数（具体见证明[4]），但其商未必是整数。整数的商的集合\(Q\)称为有理数（rational number）集。

 可以证明，对于给定的整数\(n\)，不存在满足\(n<a<n+1\)的整数\(a\)。具体见证明[5]。

 若\(n\)是一个正整数，我们以\(S_n\)表示所有小于\(n\)的正整数的集合，称作正整数的一个截（section）。那么，\(S_1\)为空集，\(S_{n+1}\)为从\(1\)到\(n\)的所有正整数所组成的集合。在后续讨论中，我们将使用记号

\[\{1,2,\cdots,n\}=S_{n+1} \]

 以下将要证明的两条性质读者未必很熟悉，但它们却非常有用，可以将其理解为归纳原理的另一种表现形式。

 定理 4.1[良序性质（well-ordering property）] \(\mathbb{Z}_+\)的每一个非空子集有一个最小元。

 证明 我们首先证明下述论断成立：对于每一个\(n\in\mathbb{Z}_+\)，\(\{1,\cdots,n\}\)的每一个非空子集有最小元。

 设\(A\)是使上述论断成立的所有正整数\(n\)的集合，则\(A\)包含\(1\)。这是由于\(n=1\)时，\(\{1,\cdots,n\}\)仅有的非空子集是集合\(\{1\}\)本身。其次，设\(A\)包含\(n\)，我们证明它包含\(n+1\)。为此，设\(C\)为\(\{1,\cdots,n+1\}\)的一个非空子集。如果\(C\)由一个元素\(n+1\)组成，那么这个元素就是\(C\)的最小元。如果\(C\)多于一个元素，考虑非空集\(C\cap\{1,\cdots, n\}\)。因为\(n\in A\)，这个集合有一个最小元，它自然也就是\(C\)的最小元。于是\(A\)为包含\(1\)的归纳集，所以\(A=\mathbb{Z}_+\)，这就证明了对于所有\(n\in\mathbb{Z}_+\)论断为真。

 现证明定理。设\(D\)为\(\mathbb{Z}_+\)的一个非空子集。在\(D\)中取一个元素\(n\)，则集合\(D\cap \{1,\cdots,n\}\)非空，从而\(A\)有一个最小元\(k\)，\(k\)自然就是\(D\)的最小元。

$\square$

 定理 4.2[强归纳原理（strong induction principle）] 设\(A\)是一个以正整数为元素的集合。假定对于每一个正整数\(n\)，\(S_n\subset A\)蕴含\(n\in A\)，则\(A=\mathbb{Z}_+\)。

 证明 假定\(A\)与\(\mathbb{Z}_+\)不等，那么必定存在一个不属于\(A\)的最小正整数，记作\(n\)。由于每一个小于\(n\)的正整数属于\(A\)，因此\(S_n\subset A\)。但我们的假设蕴含\(n\in A\)，矛盾。

$\square$

 与数学归纳法类似，强数学归纳法基于强归纳原理。读者可仿造前面的论述自行验证。

 到现在为止，我们仅仅用到了关于有序域的公理——实数性质(1)-(6)。什么时候用到上确界公理(7)呢？

 可以用上确界公理证明正整数集\(\mathbb{Z}_+\)在\(\mathbb{R}\)中没有上界。这是实直线的Archimedean 有序性质（Archimedean order property）。为了证明这一点，我们假定\(\mathbb{Z}_+\)有一个上界，从而导致矛盾。如果\(\mathbb{Z}_+\)有一个上界，则有上确界\(b\)，于是存在\(n\in\mathbb{Z}_+\)，使\(n>b-1\)；若不然，\(b-1\)就是\(\mathbb{Z}_+\)的一个小于\(b\)的上界。因此\(n+1>b\)，与\(b\)是\(\mathbb{Z}_+\)的上界矛盾。

 上确界公理还可以用来证明关于\(\mathbb{R}\)的另一些结果。例如用以证明，对于任意正实数\(x\)，其正平方根\(\sqrt{x}\)的存在唯一性。具体见证明[6]。而这个事实又可以用来证明不是有理数的实数的存在性，一个很容易的例子就是数\(\sqrt{2}\)。

 事实上，上确界性质是实数一个非常重要的性质。其直接定义了实数的连续性，是实数上的分析学的灵魂与命脉所在。它告诉我们，无论我们从左（小于），还是从右（大于）构造一个有界单调数列，实数集总是足够“连续”，使得存在一个实数作为该数列的极限，而不是存在一个一个“空洞”。由此得到的数列极限存在性正是整个数学分析的基础所在。正平方根的存在性也是用上确界性质填补“空洞”得到的结果。

 我们用\(2\)表示\(1+1\)，符号\(3\)表示\(2+1\)等等，就得到了正整数的标准符号。按照这个程序，每一个正整数都确定了一个唯一的记号，然而我们永远用不到这一点，也不予证明。

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