maximal ideal

摘要： 习题 1. 若\(a\)和\(b\)是两个实数，当\(b-a\)为正有理数时定义\(a\prec b\)，证明这是\(\mathbb{R}\)上的一个严格偏序。它的极大全序子集是什么？ 2. (a) 设\(\prec\)是集合\(A\)中的一个严格偏序，\(A\)中的一个关系\(\preceq\)定 阅读全文

摘要： 我们已经说过，由选择公理可以得到任意集合都能良序化这一深刻的定理。在数学中，选择公理还有更加重要的推论。这里所提及的“极大原理”有多种版本。在1914年至1935年间，多位数学家曾对极大原理独立地予以论述，他们包括F. Hausdorff、K. Kuratowski、S. Bochner及M. Zo 阅读全文

摘要： 习题 1. 证明：每一个良序集都有上确界性质。 2. (a) 证明：在良序集中，每一个不是最大元（如果存在的话）的元素有一个紧接后元。 (b) 作出一个集合，它的每一个元素有一个紧接后元，但这个集合不是良序集。 3. 集合\(\{1,2\}\times \mathbb{Z}_+\)与\(\mathb 阅读全文

摘要： 习题 1. 不用选择公理定义一个单射\(f:\mathbb{Z}_+\rightarrow X^{\omega}\)，其中\(X\)为二元素集\(\{0,1\}\)。 2. 如果有可能的话，试对下列各个集族不用选择公理而求出来一个选择函数。 (a) \(\mathbb{Z}_+\)的所有非空子集的族 阅读全文

摘要： 习题 1. 设\((b_1,b_2,\cdots)\)是实数的一个无穷序列。用归纳法定义它的和\(\sum_{k=1}^n b_k\)如下： \[\begin{align*} &\sum_{k=1}^n b_k = b_1\qquad\qquad\text{当}n=1,\\ &\sum_{k=1}^ 阅读全文

摘要： 习题 1. 证明\(\mathbb{Q}\)是可数无限集。 2. 证明\(f:\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z}_+,g:A\rightarrow \mathbb{Z}_+,A=\{(x,y)|x,y\in\mathbb{Z}_+\text{和}y\leqslant x 阅读全文

摘要： 习题 1. (a) 写出所有单射 \[f:\{1,2,3\}\rightarrow \{1,2,3,4\} \]证明它们都不是一一对应。（这里给出了基数为3的集合\(A\)其基数不为4的一个直接的证明。） (b) 有多少个单射 \[f:\{1,\cdots,8\}\rightarrow \{1,\c 阅读全文

摘要： 习题 1. 证明：存在\(A\times B\)与\(B\times A\)之间的一个一一对应。 2. (a) 证明：对于\(n>1\)，存在 \[A_1\times\cdots\times A_n\text{与}(A_1\times\cdots\times A_{n-1})\times A_n \ 阅读全文

摘要： 习题 1. 仅用公理(1)-(5)证明\(\mathbb{R}\)的下述“代数定律”： (a) 若\(x+y=x\)，则\(y=0\)； (b) \(0\cdot x=0\)； (c) \(-0=0\)； (d) \(-(-x)=x\)； (e) \(x(-y)=-(xy)=(-x)y\)； (f) 阅读全文

摘要： 习题 等价关系 1. 对于平面上两个点\((x_0,y_0)\)和\((x_1,y_1)\)，当\(y_0-x_0^2=y_1-x_1^2\)时规定它们是等价的。验证这是一个等价关系并给出等价类。 2. 设\(C\)为集合\(A\)中的一个关系，\(A_0\subset A\)。\(C\)在\(A_ 阅读全文

摘要： 习题 1. 设\(f:A\rightarrow B\)，\(A_0\subset A\)和\(B_0\subset B\)。 (a) 证明\(A_0\subset f^{-1}(f(A_0))\)，并且当\(f\)是单射时，式中包含关系可换为等号。 (b) 证明\(f(f^{-1}(B_0))\su 阅读全文

摘要： 习题 1. 验证集合运算\(\cup\)与\(\cap\)的分配律及DeMorgan定律。 2. 对于所有集合\(A,B,C,D\)，判定下面的哪些结论为真。如果相互蕴含关系不成立，判定有哪一种蕴含关系。如果等号不成立，判定用包含关系\(\subset\)或\(\supset\)代替等号时，相应的表 阅读全文

摘要： 1. 如果\(A\)和\(B\)是良序集，则\(A\times B\)在字典序下是一个良序集。 证明 对\(A\times B\)的任意非空子集\(C\)，取其所有元素的一个坐标组成集合\(D\)。由\(A\)的良序性可知，存在\(D\)的最小元\(a_0\)。构造集合\(E=\{b|a_0\tim 阅读全文

摘要： 正整数集\(\mathbb{Z}_+\)有一个有用的性质：每一个非空子集有一个最小元。将它加以推广就得到良序集的概念。 定义 具有全序关系\(<\)的一个集合\(A\)称为良序的（well-ordered），如果\(A\)的任意非空子集有一个最小元。 有几种构造良序集的方法，下面是其中的两种： (1 阅读全文

摘要： 我们已经得到了判定集合为无限集的一些法则。例如，若集合\(A\)有一个可数无限子集，或者存在\(A\)与其真子集之间的一一对应，则\(A\)必定为无限集。我们将要证明，这些性质中的任何一个都足以刻画无限集。而这个证明又把我们引向讨论目前我们还没有提到过的逻辑学中的一个问题——选择公理。 定理 9.1 阅读全文