归纳定义原理

 在讨论归纳定义原理的一般形式之前，首先证明它的一个特殊情况——引理 7.2的证明中用到过这种情况。它有助于对一般情况的讨论，使证明中的关键思想更为清晰。

 对此，给定\(\mathbb{Z}_+\)的无限子集\(C\)，考虑函数\(h:\mathbb{Z}_+\rightarrow C\)的下述归纳公式：

$$\begin{aligned} &h(1)=C\text{的最小元}\\ &h(i)=[C-h(\{1,\cdots,i-1\})]\text{的最小元},\text{对于}i>1 \end{aligned}\tag{$*$}\label{*}$$

我们证明存在唯一的一个函数\(h:\mathbb{Z}_+\rightarrow C\)满足这个归纳公式。

 第一步，证明存在定义在\(\mathbb{Z}_+\)的截上的函数满足\(\eqref{*}\)。

 引理8.1 给定\(n\in\mathbb{Z}_+\)，存在一个函数

\[f:\{1,\cdots,n\}\longrightarrow C \]

对于定义域中所有\(i\)满足\(\eqref{*}\)。

 证明 这个引理讲的是一个依赖于\(n\)的论断，因此可以用归纳法加以证明。设\(A\)为所有使引理成立的\(n\)的集合。我们证明\(A\)是一个归纳集，从而有\(A=\mathbb{Z}_+\)。

 当\(n=1\)时引理成立，因为由

\[f(1)=C\text{的最小元} \]

定义的函数\(f:\{1\}\rightarrow C\)满足\(\eqref{*}\)。

 假定引理对于\(n-1\)成立，以下证明引理对于\(n\)成立。根据归纳假定，存在函数\(f':\{1,\cdots,n-1\}\rightarrow C\)，对于定义域\(\{1,\cdots,n-1\}\)中的所有\(i\)满足\(\eqref{*}\)。用

\[\begin{aligned} &f(i)=f'(i),\text{对于}i\in\{1,\cdots,n-1\}\\ &f(n)=[C-f'(\{1,\cdots,n-1\})]\text{的最小元} \end{aligned} \]

定义一个函数\(f:\{1,\cdots,n\}\rightarrow C\)。因为\(C\)为无限集，\(f'\)不是满射；因此集合\(C-f'(\{1,\cdots,n-1\})\)非空，并且\(f(n)\)有定义。这个定义是比较容易接受的，它不是用\(f\)自身而是用给定的函数\(f'\)来定义\(f\)。

 容易验证，\(f\)对于定义域中所有的\(i\)满足\(\eqref{*}\)。因为当\(i\leqslant n-1\)时，\(f\)等于\(f'\)，所以函数\(f\)满足\(\eqref{*}\)。当\(i=n\)时，\(f\)定义为

\[f(n)=[C-f'(\{1,\cdots,n-1\})]\text{的最小元} \]

而\(f'(\{1,\cdots,n-1\})=f(\{1,\cdots,n-1\})\)，所以\(f\)也满足\(\eqref{*}\)。

$\square$

 引理 8.2 设\(f:\{1,\cdots,n\}\rightarrow C\)与\(g:\{1，\cdots,m\}\rightarrow C\)对于它们各自定义域中的所有\(i\)都满足\(\eqref{*}\)。则对于两个定义域中所有公共的\(i\)，\(f(i)=g(i)\)。

 证明 设结论不真，令\(i\)为使得\(f(i)\ne g(i)\)的最小整数，根据\(\eqref{*}\)

\[f(1)=C\text{的最小元}=g(1) \]

所以整数\(i\)不是1。对于所有\(j<i\)，我们有\(f(j)=g(j)\)。由于\(f\)和\(g\)满足\(\eqref{*}\)，所以

\[\begin{gathered} f(i)=[C-f(\{1,\cdots,i-1\})]\text{的最小元}\\ g(i)=[C-g(\{1,\cdots,i-1\})]\text{的最小元} \end{gathered} \]

由于\(f(\{1,\cdots,i-1\})=g(\{1,\cdots,i-1\})\)，所以\(f(i)=g(i)\)，这与\(i\)的选取矛盾。

$\square$

 定理 8.3 存在唯一的一个函数\(h:\mathbb{Z}_+\rightarrow C\)，使得\(\eqref{*}\)对于所有\(i\in\mathbb{Z}_+\)成立。

 证明 根据引理 8.1，对于每一个\(n\)，存在一个将\(\{1,\cdots,n\}\)映到\(C\)中的函数，并且对其定义域中所有的\(i\)满足\(\eqref{*}\)。给定\(n\)，引理 8.2证明了这样的函数是唯一的，定义域相同的两个这样的函数必定相等。设\(f_n:\{1,\cdots,n\}\rightarrow C\)表示这个唯一的函数。

 现在进行关键的一步。定义一个函数\(h:\mathbb{Z}_+\rightarrow C\)，其指派法则是所有\(f_n\)的指派法则的并\(U\)。由于\(f_n\)的指派法则是\(\{1,\cdots,n\}\times C\)的一个子集，因此\(U\)是\(\mathbb{Z}_+\times C\)的一个子集。我们要证明\(U\)是函数\(h:\mathbb{Z}_+\rightarrow C\)的指派法则。

 就是说我们要证明\(\mathbb{Z}_+\)的每一个元素\(i\)恰好是\(U\)中一个元素的第一个坐标。这是容易的，整数\(i\)在\(f_n\)的定义域中的充分必要条件是\(n\geqslant i\)，所有\(U\)中所有使\(i\)为其第一个坐标的元素的集合，正好是形如\((i,f_n(i))\)的所有偶对的集合，其中\(n\geqslant i\)。引理 8.2表明，当\(n,m\geqslant i\)时，\(f_n(i)=f_m(i)\)。因此，\(U\)中所有这些元素都相等，亦即\(U\)中只有一个元素以\(i\)为它的第一个坐标。

 证明\(h\)满足条件\(\eqref{*}\)也是容易的，它是以下事实的推论：

$$\text{如果}i\leqslant n,\text{则}h(i)=f_n(i),f_n\text{对于定义域中所有}i\text{满足}\eqref{*}$$

 唯一性的证明是引理 8.2的证明的翻版。

$\square$

 现在我们正式叙述归纳定义的一般原理。在它的证明中并没有什么新思想，故留给读者自行证明。

 定理 8.4[归纳定义原理（principle of recursive definition）] 设\(A\)是一个集合，\(a_0\)为\(A\)的一个元素。设\(\rho\)为一个函数，使得每一个从正整数的一个非空截映到\(A\)中的函数\(f\)对应\(A\)中的一个元素，则存在唯一的一个函数

\[h:\mathbb{Z}_+\longrightarrow A \]

使得

$$ \begin{aligned} &h(1)=a_0\\ &h(i)=\rho(h|\{1,\cdots,i-1\}),\text{对于}i>1 \end{aligned}\tag{$+$}\label{+} $$

 \(\eqref{+}\)称为\(h\)的一个归纳公式（recursion formular）。它决定了\(h(1)\)，并且用\(h\)在所有小于\(i\)的正整数处的值来表出\(h\)在\(i>1\)处的值。