maximal ideal

摘要： 习题 1. (a) 写出所有单射 \[f:\{1,2,3\}\rightarrow \{1,2,3,4\} \]证明它们都不是一一对应。（这里给出了基数为3的集合\(A\)其基数不为4的一个直接的证明。） (b) 有多少个单射 \[f:\{1,\cdots,8\}\rightarrow \{1,\c 阅读全文

摘要： 习题 1. 证明：存在\(A\times B\)与\(B\times A\)之间的一个一一对应。 2. (a) 证明：对于\(n>1\)，存在 \[A_1\times\cdots\times A_n\text{与}(A_1\times\cdots\times A_{n-1})\times A_n \ 阅读全文

摘要： 习题 1. 仅用公理(1)-(5)证明\(\mathbb{R}\)的下述“代数定律”： (a) 若\(x+y=x\)，则\(y=0\)； (b) \(0\cdot x=0\)； (c) \(-0=0\)； (d) \(-(-x)=x\)； (e) \(x(-y)=-(xy)=(-x)y\)； (f) 阅读全文

摘要： 习题 等价关系 1. 对于平面上两个点\((x_0,y_0)\)和\((x_1,y_1)\)，当\(y_0-x_0^2=y_1-x_1^2\)时规定它们是等价的。验证这是一个等价关系并给出等价类。 2. 设\(C\)为集合\(A\)中的一个关系，\(A_0\subset A\)。\(C\)在\(A_ 阅读全文

摘要： 习题 1. 设\(f:A\rightarrow B\)，\(A_0\subset A\)和\(B_0\subset B\)。 (a) 证明\(A_0\subset f^{-1}(f(A_0))\)，并且当\(f\)是单射时，式中包含关系可换为等号。 (b) 证明\(f(f^{-1}(B_0))\su 阅读全文

摘要： 习题 1. 验证集合运算\(\cup\)与\(\cap\)的分配律及DeMorgan定律。 2. 对于所有集合\(A,B,C,D\)，判定下面的哪些结论为真。如果相互蕴含关系不成立，判定有哪一种蕴含关系。如果等号不成立，判定用包含关系\(\subset\)或\(\supset\)代替等号时，相应的表 阅读全文

摘要： 1. 如果\(A\)和\(B\)是良序集，则\(A\times B\)在字典序下是一个良序集。 证明 对\(A\times B\)的任意非空子集\(C\)，取其所有元素的一个坐标组成集合\(D\)。由\(A\)的良序性可知，存在\(D\)的最小元\(a_0\)。构造集合\(E=\{b|a_0\tim 阅读全文

摘要： 正整数集\(\mathbb{Z}_+\)有一个有用的性质：每一个非空子集有一个最小元。将它加以推广就得到良序集的概念。 定义 具有全序关系\(<\)的一个集合\(A\)称为良序的（well-ordered），如果\(A\)的任意非空子集有一个最小元。 有几种构造良序集的方法，下面是其中的两种： (1 阅读全文

摘要： 我们已经得到了判定集合为无限集的一些法则。例如，若集合\(A\)有一个可数无限子集，或者存在\(A\)与其真子集之间的一一对应，则\(A\)必定为无限集。我们将要证明，这些性质中的任何一个都足以刻画无限集。而这个证明又把我们引向讨论目前我们还没有提到过的逻辑学中的一个问题——选择公理。 定理 9.1 阅读全文

摘要： 在讨论归纳定义原理的一般形式之前，首先证明它的一个特殊情况——引理 7.2的证明中用到过这种情况。它有助于对一般情况的讨论，使证明中的关键思想更为清晰。 对此，给定\(\mathbb{Z}_+\)的无限子集\(C\)，考虑函数\(h:\mathbb{Z}_+\rightarrow C\)的下述归纳公 阅读全文

摘要： 如同正整数的截是有限集的样本那样，所有正整数的集合\(\mathbb{Z}_+\)就是可数无限集的样板。本节将研究这种集合，还要构造一些既不是有限集也不是可数无限集的集合。这种研究将引导我们去讨论“归纳定义”过程的含义。 定义 一个集合\(A\)称为无限的（infinite），如果它不是有限集。一个 阅读全文

摘要： 有限这个概念，读者应该从小学开始就有了直观的感受——能一个个数出来，并且数完的就是有限的。现在，我们将这个概念抽象化严谨化。 回想一下，如果\(n\)是一个正整数，用\(S_n\)表示全体小于\(n\)的正整数集合，并称之为正整数的一个截。集合\(S_n\)就是有限集的样板。 定义 集合\(A\)称 阅读全文

摘要： 前面我们已经定义了两个集合的笛卡尔积\(A\times B\)。现介绍更为一般的笛卡尔积。 定义 设\(\mathcal{A}\)是一个非空集族。\(\mathcal{A}\)的指标函数（indexing function）是从某一个集合\(J\)到\(\mathcal{A}\)的一个满射\(f\) 阅读全文

摘要： 前面我们讨论的都是拓扑学的逻辑基础——集合论的一些基本概念。现转入讨论其数学基础——整数与实数系。 建立起这些基础的一个办法是，仅仅使用集合论公理来构造实数系，也就是说，赤手空拳地干。这样处理问题要花费很多时间和精力，并且其中逻辑的意味远远超过数学。第二种方法比较简单，它假定已有实数的一些公理，从这 阅读全文

摘要： 1. 仅用公理(1)-(5)证明\(\mathbb{R}\)的下述“代数定律”： (a) 若\(x+y=x\)，则\(y=0\)； (b) \(0\cdot x=0\)； (c) \(-0=0\)； (d) \(-(-x)=x\)； (e) \(x(-y)=-(xy)=(-x)y\)； (f) \( 阅读全文