前言

 近段时间，我打算学习拓扑动力系统，遍历理论等相关理论。这些理论涉及到了大量拓扑学知识，而我以前只看过两三遍拓扑学参考教材，却始终只知大概，具体的知识体系和证明思路并没有细究。于是，便趁着这个机会复习回顾，同时也尽量做到易懂详细，让读者朋友们也能进入拓扑学的奇妙世界。先说下本系列的定位，本系列旨在带领小白入门拓扑学。这里的入门并不是简单的趣味科普，而是有公式、有推导的严肃教学（数学恐惧者慎入）。当然，我会尽量从自己的理解出发解释这些公式和推导，使得读者能够理清知识脉络，掌握关键概念。本系列的参考教材为James R. Munkres《拓扑学》第二版 机械工业出版社。

 作为拓扑学学习的前言，我们首先要了解什么是拓扑学。一般的模糊解释会把拓扑学同甜甜圈、莫比乌斯环、克莱因瓶之类的奇异几何体联系起来，通常还伴随着连续形变的动画。而正经的科普通常会这样说，拓扑学是研究几何图形在连续形变下保持不变的性质的数学分支。当然，这个解释无疑是正确的，但对于没有良好数学基础的人来说，这个说法仍无法让其直观理解拓扑学的本质。对此，我们需要了解法国数学家克莱因（Felix Christian Klein，1849 - 1925）的几何学变换群观点：不同的几何学对应不同的变换，其研究这些变换下保持不变的性质。以我们熟悉的平面几何为例，其对应的变换为二维刚体变换，即平移、旋转或二者的复合。仔细回想一下，我们在平面几何中研究的长度、角度、全等等性质在刚体变换下是不是不变的？长度和角度显然在平移和旋转下不变，图形的形状大小也不变，故两个图形变换前全等，变换后依然保持全等。类似的，拓扑学也对应一种变换，称为连续变换。目前我们可以简单地将连续变换想象成几何体的连续形变，后续我们将对连续做出严谨的定义。前面提过的长度和角度显然无法在连续形变下不变，故拓扑学一般不会将其作为研究对象，至多作为工具去研究那些保持不变的拓扑性质。有趣的是，我们可以从变换的关系诱导出几何学的关系。比如，刚体变换显然是连续变换，那么刚体变换是连续变换的子变换，相应的，平面几何是拓扑学的子几何——任何拓扑学的结论都能套用至平面几何，反之则不行。需要补充的是，克莱因的几何学变换群观点对于牛鬼蛇神的现代几何学已不再适用，我们很难找到合适的变换去对应这些高度抽象的几何学。

 虽然基于连续形变的解释准确把握了拓扑学的本质，但其仍存在问题。很多初学者由于这个解释，将拓扑学看成一门和平面几何一样的纯几何学，却不知拓扑学是所有连续数学对象的基础学科。这里的连续数学对象包括了连续映射之类通常意义上连续的东西，也包括了图、树等离散结构。事实上，我们将在后面的学习中看到，在离散结构上仍可以定义连续，进而使用拓扑学进行研究。这样的特点使得拓扑学成为了现代数学的基础分支，尤其是近现代发展而来的数学分支，在定义概念时总是这样开头：“设XXX满足XXX(某种拓扑性质)……”。只有学好了拓扑学，才能为后续近现代数学的学习打下基础。

 拓扑学研究对象的极度广泛性，决定了其理论特点和学习方法。计算机科学家常常做各种权衡，如性能和成本，时间与空间。其实数学家也一样，其需要权衡研究范围和研究内容。当一个数学家构造一个新的数学理论时，若该理论高度抽象，能包含多种研究对象，那么其能研究的内容一定较少——研究对象越多，其共性越少，能据此建立的概念和定理也就越少。若针对一个相对具体的数学对象构建理论，那么有许多性质可以研究，但研究范围却受到了限制。用玩梗的方式来说，研究的越多，研究的越少（笑）。显然我们要学习的拓扑学属于前者，其高度抽象，相应的核心概念和定理较少，但高度浓缩，难以理解。其通常会设定几个公理或性质，并基于此推导出其余的性质和定理，而不是从具体的对象中提取概念或定理。可以说，拓扑学是善于演绎者的天堂，工于归纳者的地狱。我们在学习拓扑学时，一定不要被抽象的概念或定理唬住。我们要清楚，所有这些抽象概念和定理的背后，都是无数先贤通过大量的数学实践总结而来的精华。我们要从日常的形象思维中抽离出来，严格按照演绎法则进行推理，并最终回归具体对象进行理解深化。并且，我们也可以用历史的方法研究拓扑学，更好的了解这些抽象概念或定理提出的动机背景以及发展历史。

 任何一门数学分支的学习都离不开习题。每一节的习题及解答都放入了拓扑学习题合集中。读者可自行阅读并尝试解答。在做题的过程中，除了巩固所学之外，好的题目还会拓展正文的知识，引导读者进行思考。对于这些题目，读者应认真体会其意义与思路，方能百尺竿头更进一步。

 为了保证学习过程的连贯性，大多数证明将被移至拓扑学证明合集中。想要查看某节的证明，读者可通过点击该节中的超链接进行查看。需要强调的是，证明同样是数学学习的重要组成部分。读者应学习证明思路，尝试构建自己的证明。

 若在阅读拓扑学合集的随笔或拓扑学证明合集的证明、拓扑学习题的解答时发现任何错误遗漏，请及时指出。你的意见将是我前进的最大动力。

 最后，祝愿各位拓扑学学习一帆风顺，马到成功。