基本概念

基本记号

 在本系列中，我们通常使用大写字母\(A,B,\cdots\)表示集合（set），用小写字母\(a,b,\cdots\)表示属于集合的成员（object）或元素（element）。集合有时简称为集，元素有时简称为元。如果成员\(a\)属于集合\(A\)，就记作

\[a\in A \]

如果\(a\)不属于\(A\)，就记作

\[a \notin A \]

 如果\(A\)的每一个元素都是\(B\)的元素，就说\(A\)是\(B\)的子集（subset），记作

\[A\subset B \]

当\(A\subset B\)并且\(A\)不等于\(B\)时，称\(A\)为\(B\)的真子集（proper subset），记作

\[A\subsetneq B \]

两集合之间的\(\subset\)和\(\subsetneq\)关系分别称为包含（inclusion）关系和真包含（proper inclusion）关系。若\(A\subset B\)，也可以写作\(B\supset A\)，读作\(B\)包含\(A\)。

 为了描述集合，我们可以将其所有元素列出来，如

\[A=\{a,b,c\} \]

若集合的元素较多或有无穷个，这个方法就不再适用。此时，我们就可以通过元素选取集合+元素性质描述的方式描述集合，如偶数集

\[B=\{x|x\text{是偶数},x\in \mathbb{Z}\} \]

其中\(\mathbb{Z}\)是整数集。

集合的“并”与“或”的含义

 给定集合\(A\)和\(B\)，由\(A\)中所有元素和\(B\)中所有元素可以组成一个集合，这个集合称为\(A\)与\(B\)的并（union）或并集，记作 \(A\cup B\)。正式的定义是

\[A\cup B = \{x|x\in A \text{或} x\in B\} \]

 现在，我们需要停下来，仔细思考\(x\in A \text{或} x\in B\)中的“或”是什么意思。需要指出的是，在数学中，\(P\text{或}Q\)通常表示\(P\)成立，或者\(Q\)成立，或者\(P\)和\(Q\)同时成立。但是在日常用语中，其可能不包括\(P\)和\(Q\)同时成立的情况。例如我们可以说：

“明天会出太阳或下雨。”

显然，明天不可能既出太阳又下雨（我们不考虑太阳雨这种罕见情况），其要么出太阳、要么下雨。在数学中，我们要时刻牢记第一种解释，即或者\(P\)成立，或者\(Q\)成立，或者\(P\)和\(Q\)同时成立。如果不想包含\(P\)和\(Q\)同时成立的情况，就必须明确加上短语“但不是既\(P\)又\(Q\)”。

 现在，我们便能说清楚\(A\cup B\)的意思了，其由那些属于\(A\)，或者属于\(B\)，或者既属于\(A\)又属于\(B\)的元素\(x\)组成。

集合的交、空集以及“若……，则……”的含义

 给定两个集合\(A\)和\(B\)，我们可以取其公共部分形成新的集合。这个集合称为\(A\)与\(B\)的交（intersection）或交集，记作\(A\cap B\)。正式的定义是

\[A\cap B = \{x|x\in A \text{和} x\in B\} \]

当\(A\)和\(B\)没有公共元素时，我们引入空集\(\varnothing\)。此时，\(A\)和\(B\)没有公共元素这句话就记作

\[A\cap B = \varnothing \]

此时，也说\(A\)与\(B\)无交（disjoint）。

 关于空集\(\varnothing\)，有以下式子成立

\[A\cup \varnothing = A \text{ 和 } A\cap \varnothing = \varnothing \]

读者可以根据“并”和“交”的定义进行验证。

 对于\(\varnothing\)的包含关系，则有点麻烦。给定一个集合\(A\)，可以认为\(\varnothing \subset A\)吗？相信很多读者都清楚答案是肯定的，但在数学中我们仍要从定义出发，一步步严谨地推导出结论。注意到\(\varnothing \subset A\)其实是语句“对于每一个元素\(x\)，若\(x\)属于\(\varnothing\)，则\(x\)必属于集合\(A\)。”，这里涉及到了“若\(P\)，则\(Q\)”的逻辑关系。类似于“或”，我们这里要搞清楚“若……，则……”在数学中的含义。在数学中，“若\(P\)，则\(Q\)”表明\(P\)为真，则\(Q\)必然为真。其不保证\(P\)为假时，\(Q\)必然为假。但是在日常用语中，其可能也包含了第二种情况。例如我们可以说：

“若拓扑学成绩小于60分，我就会不及格。”

在这个例子中，“拓扑学成绩小于60分”成立，则“不及格”显然成立；“拓扑学成绩小于60分”不成立，则“不及格”也不成立。我们必须要牢记，数学上的“若……，则……”只保证真\(\rightarrow\)真，无法保证假\(\rightarrow\)假。若要同时保证两者，我们应该说“……当且仅当……”。

 回到\(\varnothing \subset A\)的讨论，我们会发现，“若”后衔接的前提“\(x\)属于\(\varnothing\)”永远为假，此时“对于每一个元素\(x\)，若\(x\)属于\(\varnothing\)，则\(x\)必属于集合\(A\)。”这个论断还会为真吗？按照定义，只要能保证真\(\rightarrow\)真，这个论断就为真。反过来说，若存在真-假，则论断为假。这里前提始终为假，故不存在真-假的情况，故论断成立，\(\varnothing \subset A\)对于任意集合\(A\)成立。像\(\varnothing\subset A\)这种前提始终为假的“若……，则……”论断，我们称为虚真论断（vacuously true）。

逆否论断与逆论断

 对于“若\(P\)，则\(Q\)”这种论断，我们可以简单地记为

\[P\Longrightarrow Q \]

读作\(P\)蕴含\(Q\)，其逆否论断（contrapositive）定义为

\[(\text{非}Q)\Longrightarrow (\text{非}P) \]

需要指出的是，这两个论断是逻辑等价的。即一个成立，另一个必然成立；一个不成立，另一个必然不成立。要证明这一点，可以仿造我们关于空集包含关系的讨论。\(P\Longrightarrow Q\)等价于真\(\rightarrow\)真始终成立，等价于不存在真-假，也就是只有假-假，假\(\leftarrow\)假始终成立，即\((\text{非}Q)\Longrightarrow (\text{非}P)\)成立。

 由论断\(P\Longrightarrow Q\)还可以定义另一个论断，那就是

\[Q\Longrightarrow P \]

其称为\(P\Longrightarrow Q\)的逆（converse）。不同于逆否论断，其与原论断是不逻辑等价的。

 如果论断\(P\Longrightarrow Q\)和\(Q\Longrightarrow P\)都为真，则将其记为

\[P\iff Q \]

读作“\(P\)为真当且仅当\(Q\)为真”。

否论断

 在逆否论断与逆论断这一节，我们不加定义给出了诸如\(\text{非}P\)的新论断，我们将其称为\(P\)的否定（negation）。通常情况下，写出一个论断的否定是容易的。例如

\[x^2 = 10 \]

其否定就可以写为

\[x^2 \neq 10 \]

 但是，涉及到逻辑量词“任意”、“存在”时，要写出论断的否定便变得有点麻烦。考虑下列论断

对于任意$x\in A$，论断$P$成立。

如何做出其否定呢？按照其语义来说，其表征的是集合\(A\)的元素均满足性质\(P\)。那么，其否定应当是\(A\)中存在反例元素\(x\)，使得\(P\)不成立，将其翻译为通常语言就是

存在$x\in A$，论断$\text{非}P$成立.

观察原论断和否论断，不难发现，除了将论断\(P\)变为\(\text{非}P\)，其也将“任意”变为了“存在”。类似地，读者可以证明对于论断

存在$x \in A$，论断$Q$成立。

其否论断是

对于任意$x\in A$，论断$\text{非}Q$成立。

两个集合的差

 对于集合\(A\)和\(B\)，我们可以定义其差（difference）或差集，记作\(A-B\)，它由\(A\)中所有不属于\(B\)的元素组成，写成

\[A-B = \{x|x \in A \text{和} x\notin B\} \]

有时也称之为\(B\)相对于\(A\)的补（complement）或补集，或\(B\)在\(A\)中的补。

集合论的法则

 总的来看，集合论的常用法则可分为“分配律”和DeMorgan律。其中“分配律”如下

\[A\cap(B\cup C) = (A\cap B)\cup(A\cap C) \]

\[A\cup(B\cap C) = (A\cup B)\cap(A\cup C) \]

DeMorgan律如下

\[A - (B\cup C) = (A - B)\cap (A - C) \]

\[A - (B\cap C) = (A - B)\cup (A - C) \]

这些法则读者可以按照定义自行验证，证明见[1]。

集合的族

 注意到，在我们定义集合和元素时，我们并没有限定元素是什么。特别地，当一个集合的元素也是集合时，我们称这个集合为族（collection）或集族（collection of sets），用\(\mathcal{A}\)或\(\mathcal{B}\)这样的花体字母表示。例如，\(A=\{a,b,c\}\)是一个普通的集合，而\(\mathcal{A}=\{\{a,b\},\{c\}\}\)是一个集族。给定一个集合\(A\)，定义其所有子集构成的集族为\(\mathcal{P}(A)\)，称为\(A\)的幂集（power set）。

任意并与任意交

 有了集族，我们便可以定义任意多个集合的并与交。

 给定一个集族\(\mathcal{A}\)，\(\mathcal{A}\)中元素的并（union）定义为

\[\bigcup_{A\in\mathcal{A}}A = \{x|\text{存在}A\in\mathcal{A},x\in A\} \]

\(\mathcal{A}\)中元素的交（intersection）定义为

\[\bigcap_{A\in\mathcal{A}}A = \{x|\text{对于任意}A\in\mathcal{A},x\in A\} \]

 当\(\mathcal{A}\)中有一个空集时，以上定义没有问题。但是当\(\mathcal{A}\)为空族时，就有点麻烦了。对于任意并，按照定义，我们完全可以说

\[\bigcup_{A\in\mathcal{A}}A=\varnothing \]

但是对于任意交，任何\(x\)都虚真（详见集合的交、空集以及“若……，则……”的含义）地满足任意交的定义——根本没有\(A\)属于\(\mathcal{A}\)。设\(X\)为包罗万象的大集合。那么，有理由认为

\[\bigcap_{A\in\mathcal{A}}A=X \]

这与我们的直觉相悖。我相信大多数读者都认为其应该是空集，事实上，也不是所有数学家都承认上述结论。为了避免麻烦，我们将不定义空族\(\mathcal{A}\)的交。

笛卡尔积

 在学习平面解析几何时，我们已经接触到了“有序偶对”的概念——平面上的每一点对应一个有序偶对\((x,y)\)。对于任意集合\(A\)和\(B\)，其笛卡尔积（Cartesian product）\(A\times B\)——笛卡尔积有时也称为积（product）——定义为所有有序偶对\((a,b)\)的集合，其中\(a\)是\(A\)的元素，\(b\)是\(B\)的元素，记作

\[A\times B = \{(a,b)|a\in A\text{和}b\in B\} \]

 上述定义假定了“有序偶对”的概念，它可以像“集合”一样，作为一个原始概念，也可以用集合运算加以定义。其中一种表示为：

\[(a,b)=\{\{a\},\{a,b\}\} \]

若\(a\ne b\)，\((a,b)\)是两个集合的族，第一个分量是同时属于这两个集合的元素，而第二个分量是仅属于一个集合的元素。当\(a=b\)时，\((a,b)\)这个集族仅有一个元素\(\{a\}\)，我们便简单地将其两个分量指定为\(a\)。

 很不凑巧的是，在数学中记号\((a,b)\)已有其他含义——表示满足\(a<x<b\)的所有数\(x\)构成的集合。一般来说，\((a,b)\)对应哪个含义可以通过上下文确定。当可能发生混淆时，我们就用另一个记号

\[a\times b \]

来表示有序偶对\((a,b)\)

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