证明-函数

 1. 两个单射的复合还是单射，两个满射的复合还是满射，从而两个一一对应复合还是一个一一对应。

 证明 设\(f:A\rightarrow B\)，\(g:B\rightarrow C\)分别为两个函数，其复合函数为\(g\circ f:A\rightarrow C\)。当这两个函数为单射时，有

$$(g\circ f)(a)=(g\circ f)(a')\Longrightarrow g(f(a))=g(f(a'))\Longrightarrow f(a)=f(a')\Longrightarrow a=a'$$

其中，第一个蕴含利用了复合函数的定义，第二个蕴含利用了$g$的单射性质，第三个蕴含利用了$f$的单射性质。由上述推导可知$g\circ f$为单射。

 若\(f\)，\(g\)为满射，则

\[\text{对于任意}c\in C,\text{存在}b\in B,\text{使得}c=g(b) \]

\[\text{对于任意}b\in B,\text{存在}a\in A,\text{使得}b=f(a) \]

 故对于任意\(c\in C\)，可取一个\(b\in B\)，使得\(c=g(b)\)。对\(b\)，同样可以取一个\(a\in A\)，使得\(b=f(a)\)。那么有

$$\text{对于任意}c\in C,\text{存在}a\in A,\text{使得}(g\circ f)(a)=g(f(a))=g(b)=c$$

故$g\circ f$为满射。

 一个函数是一一映射当且仅当其既是单射，又是满射。引用上述关于单射和满射的结论，我们可以知道，两个一一映射的复合函数既是单射，又是满射，即为一一映射。

$\square$

 2. 设$f:A\rightarrow B$。如果存在函数$g:B\rightarrow A$和$h:B\rightarrow A$，使得对于$A$中每一个$a$，$g(f(a))=a$，并且对于$B$中每一个$b$，$f(h(b))=b$，则$f$是一个一一对应，并且$g=h=f^{-1}$。

 证明 该定理的证明可分为三步：证明\(f\)是单射、证明\(f\)是满射、证明\(g=h=f^{-1}\)。

 首先证明\(f\)是单射，有

$$f(a)=f(a')\Longrightarrow g(f(a))=g(f(a'))\Longrightarrow a = a'$$

故$f$是单射。

 现证明\(f\)是满射，有

$$\text{对于任意}b\in B,\text{令}a=h(b)\in A,\text{有}f(a)=f(h(b)) = b$$

故$f$是满射。

 \(f\)既是单射又是满射，故存在逆\(f^{-1}:B\rightarrow A\)。且对于任意\(b\in B\)，有

\[g(f(f^{-1}(b)))=g(b)=f^{-1}(b) \]

\[f^{-1}(f(h(b)))=h(b)=f^{-1}(b) \]

故\(g=h=f^{-1}\)。

$\square$

 3. 对于函数$f:A\rightarrow B$，$A_0$是$A$的子集，$B_0$是$B$的子集。那么有 $$f^{-1}(f(A_0))\supset A_0$$ $$f(f^{-1}(B_0))\subset B_0$$ 进一步，如果$f$为单射，则第一个包含关系可以改写为等式；如果$f$为满射，则第二个包含关系可改写为等式。

 证明 

$$a\in A_0\Longrightarrow f(a)\in f(A_0)\Longrightarrow a\in f^{-1}(f(A_0))$$ $$b\in f(f^{-1}(B_0))\Longrightarrow \text{存在}a\in f^{-1}(\{b\})\cap f^{-1}(B_0)\Longrightarrow b=f(a)\in B_0$$

 若\(f\)为单射，有

$$a\in f^{-1}(f(A_0))\Longrightarrow f(a)\in f(A_0)\Longrightarrow \text{存在}a'\in A_0,f(a')=f(a)\Longrightarrow a=a'\in A_0$$

故第一个包含关系可以改写为等式。

 若\(f\)为满射，有

$$b\in B_0\Longrightarrow \text{存在}a\in f^{-1}(\{b\})\subset f^{-1}(B_0)\Longrightarrow b=f(a) \in f(f^{-1}(B_0))$$

故第二个包含关系可以改写为等式。

$\square$