证明-关系

 1. 全序集\(A\)具有上确界性质当且仅当它具有下确界性质。

 证明 设全序集\(A\)具有上确界性质。那么对于任意非空子集\(A_0\)，定义其下界集合\(A_1\)为

\[A_1=\{x|\text{对于任意}a\in A_0,x\leqslant a\} \]

 若\(A_0\)有下界，则\(A_1\)非空。\(A_0\)的元素均为\(A_1\)的上界。由上确界性质可知\(A_1\)具有上确界\(\sup A_1\)。下面证明\(\sup A_1\)是\(A_0\)的下界。

 若\(\sup A_1\)不是\(A_0\)的下界，则存在\(a\in A_0\)，使得\(a<\sup A_1\)。那么对于任意\(x\in A_1\)，应有\(x\leqslant a\)，故\(a\)是\(A_1\)的一个上界，且比\(\sup A_1\)小。这与上确界的定义矛盾。

 \(\sup A_1\)是\(A_0\)的下界，故\(\sup A_1\in A_1\)，\(\sup A_1\)是\(A_1\)的最大元，按照下确界定义可知\(\inf A_0 = \sup A_1\)。

 当全序集\(A\)具有下确界性质时，可以完全对称地推出其也满足上确界性质。

$\square$