会飞的鱼的数学空间

摘要： 重要放缩与观察配凑数列 函数\(f(x)=a\ln x+\dfrac{1}{2}x^2-(a+1)x+\dfrac{3}{2}(a>0)\) \((1)\)求函数单调区间 \((2)\)当\(a=1\)时，\(f(x_1)+f(x_2)=0\)证明：\(x_1+x_2\geq 2\) \((3)\) 阅读全文

摘要： 用一道经典开始 已知双曲线：\(\Gamma:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)\)，渐近线方程为\(x\pm2y=0\)点\(\left(2,\sqrt{2}\right)\)在\(\Gamma\)上 \((1)\)求双曲线\(\Gamma\) 阅读全文

摘要： 很难的放缩：对数均值不等式 已知函数\(f(x)=-2x-2\sin x+2m\ln x,m>0\)若存在\(f(x_1)=f(x_2)(x_1\neq x_2)\) \((1)\)判断\(2(x-\sin x)\)的单调性 \((2)\)证明:\(x_1+x_2>1+\ln m\) 解 \((1) 阅读全文

摘要： 含参问题常用三种思想 已知函数\(f(x)=ax\ln x-x+1\)，若\(x\in(1,+\infty)\)时，\(f(x)>0\),求\(a\)的取值范围 解 法一：直接讨论 \(f^{\prime}(x)=a(\ln x+1)-1\)，\(f^{\prime}(x)\)为增函数，并且\(f^ 阅读全文

摘要： 放缩与必要性探路(端点效应) 已知函数\(f(x)=-\dfrac{x^2}{e^x}+(b-1)x+a\)在\(x=0\)处的切线与\(y\)轴垂直. 证明：\(\forall x\in[0,+\infty)\)，不等式\(2[e^xf(x)-\cos x]>\ln(1+x)\)恒成立，求实数\( 阅读全文

摘要： 极值点偏移:对数均值不等式 已知\(a\in\mathbb{R}\),函数\(f(x)=\dfrac{a}{x}+\ln x,g(x)=ax-\ln x-2\).若\(f(x_1)=f(x_2)=2(x_1\neq x_2)\) (1)求出\(a\)的取值范围 (2)证明:\(\dfrac{1}{x 阅读全文

摘要： 越复杂越简单，构造问题 已知函数\(f(x)=(\ln x-2x+a)\ln x\) \((1)\)当\(a=2\)时，求\(f(x)\)的单调性 \((2)\)若\(f(x)\leq\dfrac{e^x}{x}-x^2+ax-a\)，求实数\(a\)的取值范围. 解 \((1)\) \(a=2,f 阅读全文

摘要： 一道常规的求参 已知函数\(f(x)=e^x-1\) \((1)\) 若\(g(x)=f(x)-ax\),讨论\(g(x)\)的单调性 \((2)\)当\(x>0\)时，都有\((x-k-1)f(x)+x+1>0\)成立，求整数\(k\)的最大值 解 \((1)\) \(g(x)=e^x-1-ax\ 阅读全文

摘要： 再来点简单的 已知函数\(f(x)=e^x\cos x\) \((1)\)求\(f(x)\)的单调区间 \((2)\) \(F(x)=-f^{\prime}(x)-ax\)在\(\left(\dfrac{\pi}{2},\pi\right)\)上有两个极值点，求实数\(a\)的取值范围. 解 \(( 阅读全文

摘要： 来个简单的 已知函数\(f(x)=2a\ln x-x+\dfrac{1}{x}\) \((1)\) 若\(\forall x\in [1,+\infty),f(x)\leq 0\)，求\(a\)的取值范围. \((2)\)证明：\(\forall a\in (1,+\infty),\forall x 阅读全文