02 2024 档案
摘要：越丑的结构，就想到同构 已知函数\(f(x)=ke^x+(\ln x)^2-x\),若\(f(x)\geq (x+\ln k)^2\)，恒成立，求\(k\)取值范围 解 原不等式为\(ke^x+(\ln x)^2-x\geq(x+\ln k)^2\) 即\(e^{\ln k+x}-(x+\ln k)
阅读全文
摘要：找点问题，着重于常用放缩的应用与极限思想 已知函数\(f(x)=(x-1)e^x-a\ln x\) (1)当\(a=e\)，求\(f(x)\)的最小值 (2)若\(f(x)\)有两个零点，求\(a\)的取值范围 解 (1)\(f(x)=(x-1)e^x-e\ln x,f^{\prime}(x)=xe
阅读全文
摘要：端点效应与适当放缩 已知函数\(f(x)=e^x+\cos x-2,g(x)=\sin x\) (1)证：当\(x>0\)时，\(g(x)<x<f(x)\) (2)若\(x>0,f(x)+g(x)>ax\)恒成立，求\(a\)的取值范围. 解 (1)左边经典不等式，略 右边：\(x<e^x+\cos
阅读全文
摘要：切线放缩 已知函数\(f(x)=\dfrac{1}{2}x^2+(a-m-1)x-ax\ln x\) (1)若\(m=-1\)时，\(y=f(x)\)不是单调函数，求\(a\)范围 (2)若\(a=2,m<0\)时，\(f(x)\)存在两个极值点\(x_1,x_2(x_1<x_2)\)，证明：\(x
阅读全文
摘要：有点硬凑的找点问题 已知函数\(f(x)=\dfrac{a}{2}e^{2x}+(a-2)e^x-\dfrac{x^2}{2}\) (1)讨论\(f^{\prime}(x)\)单调性 (2)若\(x_1,x_2\)是\(f(x)\)的极值点，证明:\(x_2-x_1<\ln(3-a)-\ln a+\
阅读全文
摘要：典型一道切割线放缩 已知函数\(f(x)=x\ln x\)，并且\(f(x)=b\)有两个实数根\(x_1,x_2,x_1<x_2\)，证明：\(be+1<x_2-x_1<\dfrac{e^{-3}+2+3b}{2}\) 解 不难做出\(y=x\ln x\)的图像 右边切线放缩： \(f^{\pri
阅读全文
摘要：端点效应难在放缩语言的叙述 已知函数\(f(x)=\ln x+ax^2-x+a+1\)，若\(f(x)\leq e^x\)，求\(a\)取值范围 解 \(\ln x+ax^2-x+a+1-e^x\leq 0\) 记\(g(x)=\ln x+ax^2-x+a+1-e^x,g(1)=2a-e\leq 0
阅读全文
摘要：浙江地区出的题太难，上积分了 设函数\(f(x)=\ln(x+1)-a\ln x-b,a>0,b\in\mathbb{R}\) (1)对任意\(0<a<1\)，函数\(f(x)\)有两零点，求\(b\)的取值范围 (2)设\(n\geq 2,n\in\mathbb{N}^{\star}\)，证明:\
阅读全文
摘要：高考题还是质量高，观察式子进行选值放缩 已知函数\(f(x)=xe^{ax}-e^x\) (1)当\(x>0\)时，\(f(x)<-1\)，求\(a\)取值范围 (2)证明:\(\dfrac{1}{\sqrt{1^2+1}}+\dfrac{1}{\sqrt{2^2+2}}+\cdots+\dfrac
阅读全文
摘要：难度很大的估值问题 已知\(f(x)=\dfrac{x^2}{2}+\cos x\) (1)求\(f(x)\)最小值 (2)当\(0<x<1\)时，若\(\dfrac{\sin x}{x}>\dfrac{a}{x+2}\)恒成立，求\(a\)范围 (3)证明:\(\displaystyle\sum\
阅读全文
摘要：一题多解,换主元、隐零点 已知函数\(f(x)=\ln x-x+a-1\) (1)若\(f(x)\leq 0\)，求\(a\)取值范围 (2)当\(a\in(0,1]\)时，证明:\(f(x)\leq \dfrac{(x-1)e^x-xe^a}{e^a}\) 解 (1) 因\(f(1)=a-2\)，
阅读全文
摘要：很适合作为改革后的第19题 已知函数\(f(x)=x-\ln(x+a)\)的最小值为\(0,a>0\) (1)求\(a\) (2)\(\forall x\geq 0,f(x)\leq kx^2\)成立，求\(k\)最小值 (3) 证明:\(\displaystyle\sum\limits_{i=1}
阅读全文
摘要：换主元，常用放缩与有界放缩 已知函数\(f(x)=a^2e^x-3ax+2\sin x-1\) (1)若\(f(0)\)是函数\(f(x)\)的极值，求实数\(a\)的值 (2)证明，当\(a\geq 1\)时，\(f(x)\geq 0\) 解 (1)\(f^{\prime}(x)=a^2e^x-3
阅读全文
摘要：常见的处理技巧与端点效应 已知函数\(f(x)=(x-1)\ln(x-2)-a(x-3)\)，若当\(x>3\)，\(f(x)>0\)恒成立，求\(a\)范围 解 \((x-1)\ln(x-2)-a(x-3)>0\) 即\(\ln(x-2)-a\dfrac{x-3}{x-1}>0\) 记\(g(x)
阅读全文
摘要：有界性，第三问有点问题，没说明数列的唯一性 已知函数\(f(x)=\sqrt{\dfrac{2x}{x+1}},g(x)=\dfrac{\sin x}{x}\) (1)求\(f(x)\)单调增区间 (2)证明：\(-\dfrac{1}{4}<g(x)<1\) (3)设\(x_1=\sqrt2,x_{
阅读全文
摘要：常规的一道证明 已知函数\(f(x)=\dfrac{1}{2}x^2-a\ln x+(1-a)x+1\) (1)讨论\(f(x)\)单调性 (2)当 \(a=1\)，证明:\(f(x)\leq x(e^x-1)+\dfrac{1}{2}x^2-2\ln x\) 解 (1) \(f^{\prime}(
阅读全文
摘要：类隐零点与切线放缩，越复杂越不怕 已知函数\(f(x)=\ln x-ax(x-1)\) (1)当\(a\leq 0\)时，探究\(f(x)\)的零点个数 (2)当\(a>0\)时，证明:\(f(x)\leq\dfrac{2+a}{\sqrt{a^2+8a}-a}-\dfrac{3}{2}\) (1)
阅读全文
摘要：参变分离，切线放缩 已知函数\(f(x)=e^x-x-1\) (1)讨论\(f(x)\)的单调性 (2)当\(x\geq 0,\)时\(f(2x)\geq 4x^3-ax^2\)，求\(a\)的取值范围 解 (1)略 (2)\(e^{2x}-2x-1\geq 4x^3-ax^2\) 当\(x=0\)
阅读全文
摘要：隐零点、同构、必要性探路三法解决 已知函数\(f(x)=e^{x-1}-a\ln x\) (1)当\(a=-1\)，求曲线\(y=f(x)\)在\((1,f(1))\)处的切线方程 (2)当\(a>0\)，若不等式\(f(x)\geq a+a\ln a\)恒成立，求\(a\)的取值范围 解 (1)\
阅读全文
摘要：非常好的一道界值分析，数学分析浓郁的综合性题 已知函数\(f(x)=e^{1-x}-ax\ln x,a>\dfrac{1}{4}\) (1)若\(f(x)\leq 3-2x\)，求\(a\) (2)证明：\(f(x)\leq 1-(a+1)\ln x\) (3)证明：\(f(m)+f\left(\d
阅读全文
摘要：利用极限找点 定义函数满足\(f(x_0)=f^{\prime}(x_0)\)的实数\(x_0\)为函数\(y=f(x)\)的然点，已知\(f(x)=(\ln x+a)e^{-x}\) (1)证明：\(\forall a\in\mathbb{R}\)，函数\(y=f(x)\)必有然点 (2)设\(x
阅读全文
摘要：很综合的一道类偏移结合放缩 已知函数\(f(x)=xe^x-\ln(x+1),g(x)=2\ln(x+1)-a\sin x\) (1)求\(f(x)\)的单调区间 (2)若\(a>2,\)函数\(h(x)=f(x)+g(x)\) (i)证明：\(h(x)\)在\(\left(0,\dfrac{\pi
阅读全文
摘要：典型的一道求参问题 已知\(f(x)=a(x+1)^2-4\ln x\) (1)若\(a=\dfrac{1}{2}\)，求曲线\(f(x)\)在\(x=1\)处的切线方程 (2)若对任意的\(x\in[1,e],f(x)< 1\)恒成立，求实数\(a\)的取值范围 (1)\(a=\dfrac{1}{
阅读全文
摘要：隐零点与类偏移，第三问太难想不出来，不知道考哪里 \(f(x)=x^2+\dfrac{1-\ln x}{x}-a\)有两个零点\(x_1,x_2\)且\(x_1<x_2\) (1)求\(a\)的取值范围 (2)证\(x_1x_2<1\) (3)证\(x_2-x_1<\sqrt{a^2-4}<x_2^
阅读全文
摘要：如果有简单的方法，麻烦评论区给下思路，没写出来 已知函数\(f(x)=ax\ln x-x^2+1\) (1)若\(f(x)\)只有一个零点，求实数\(a\)的取值范围 (2)证明:\((\ln 2)^2+\left(\ln\dfrac{3}{2}\right)^2+\ln\left(\dfrac{4
阅读全文
浙公网安备 33010602011771号