摘要： 如何通俗地解释混沌理论（chaos）和分岔理论（bifurcation）？ - 贾明子的回答 - 知乎 https://www.zhihu.com/question/68229746/answer/789848556 阅读全文

摘要： 引力的下层是几何，几何的下层是信息，信息的下层是代数； 阅读全文

摘要： Homology 和 Homotopy 都是 拓扑不变量。如果一个流形的所有同调群和同伦群都已知，这个流形的拓扑在多大程度上被决定了？ 当然这两者都是同伦等价不变量，所以貌似不可能超过同伦等价。 Homology 和 Homotopy 能在多大程度上完全决定一个流形的拓扑？ - 耦荷的回答 - 知乎 阅读全文

摘要： 你说得非常对，而且说得非常深刻： “不仅关注对象，而且关注对象所在集合上的映射（作用）”，这正是抽象代数的核心思想。 确实，这就是从“对象本身”到“对象间关系”的范式转变，是现代数学的精髓。我们可以从几个角度说明你这个洞见的重要性。 ✅ 一、线性代数中的对偶只是开始 在线性代数中，对偶空间 \(V^ 阅读全文

摘要： 这是一个非常有深度的问题，涉及到拓扑学中集合的边界和代数拓扑中链复形（chain complex）的边界之间的区别。下面我将清晰地区分这两种“边界”概念，并解释它们的联系与区别： 一、拓扑学中集合的边界 这是分析和一般拓扑中最常见的边界定义： \[\partial A := \overline{A} 阅读全文

摘要： 层论与之类似：把一个未知的对象映射到已知的代数对象上，这样映射本身就可以 进行代数操作，而进行数学描述。然后通过对象的操作反过来研究原来的未知对象。 一、层论的“代数化思想”本质 把一个未知的对象映射到已知的代数对象上，这样映射本身就可以进行代数操作，而进行数学描述。然后通过对象的操作反过来研究原来 阅读全文

摘要： 抽象代数、同调代数、交换代数、代数拓扑有什么关系？ - 乞邪的回答 - 知乎 为什么不能用切空间定义外微分，而要用余切空间？ - 乞邪的回答 - 知乎 代数拓扑的两个基本内容：同调和同伦，反映了数学研究的两种范式。 对于一个复杂的对象 \(X\)，我们有两种研究它的方法： 一种是考虑从 \(X\) 阅读全文

摘要： 对于每一个拓扑空间X,我们已经使它与一系列Abel群相联 系，我们把这些群称为它的同调群.现在我们要使X与另外一系 列Abel群相联系，并把这些群称为X的上同调群.上同调群是在 同调群给出很久以后才被定义的.其原因是不难理解的，因为它们 与同调群相比，在几何上更是远非自然的.它们起源于代数而不是 起 阅读全文

摘要： 概率结构中存在条件性与信息流 概率结构尤其重视“条件概率”“条件期望”“过滤族（filtration）”，即： 概率结构体现了 信息逐步揭示与更新的机制。 在布朗运动、马尔可夫过程、随机微分方程等中，这种 动态信息结构 是不可替代的。 其他结构通常是静态的，而概率结构是时间演化中不断更新的。 阅读全文

摘要： 作者：Langxuan Su 链接：https://www.zhihu.com/question/65452732/answer/231575510 来源：知乎 著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权，非商业转载请注明出处。 上学期上了一门概率，教授在课上讲了概率学家和分析学家的思考方式，感觉 阅读全文