上同调

对于每一个拓扑空间X,我们已经使它与一系列Abel群相联
系，我们把这些群称为它的同调群.现在我们要使X与另外一系
列Abel群相联系，并把这些群称为X的上同调群.上同调群是在
同调群给出很久以后才被定义的.其原因是不难理解的，因为它们
与同调群相比，在几何上更是远非自然的.它们起源于代数而不是
起源于几何.从某种(有待明确的)代数意义上说，它们“对偶”于同
调群.在过去，拓扑学家曾使用过象“伪闭链”这样的术语来表示这
些群的元素，这就包含着对于把它们作为研究对象的合法性抱有
一定程度的怀疑.然而，这些群在理论上是重要的，而且在实践中
是有用的，这一点终于变得明朗化了.
流形的对偶定理、拓扑学与微分几何的联系(de Rham定理)、
拓扑学与分析学之间的联系(带层系数的上同调)———所有这些结
果都要用上同调来系统阐述.甚至像直至同胚的空间分类或直至
同伦的映射分类这样的纯拓扑问题，对于上同调而言都是值得称
道的.