概率与其他不同的地方

作者：Langxuan Su
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上学期上了一门概率，教授在课上讲了概率学家和分析学家的思考方式，感觉很有意思。概率是由测度论定义的，一个概率空间 (Ω,F,P)(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}) 就是测度空间加上 P(Ω)=1\mathbb{P}(\Omega)=1\mathbb{P}(\Omega)=1 而已。本质上，概率论可以被称作“有限测度空间的研究”，而测度论本来就是分析的基础之一，概率论也可以被看作分析的一个分支。当然，这种看法和把数论看作“对字符串的研究”，把偏微分方程看作泛函分析的分支差不多。分析学家和概率学家对随机的处理方式和思考方式很不一样。分析学家会主要会用一般分析的技巧去研究随机变量的分布函数和特征函数，而概率学家的核心思想是“信息”（可测性）的变化。在概率论, (Ω,F,P)(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}) 中 F\mathcal{F}\mathcal{F} 是被理解为“所有可以通过随机变量观测到的信息”，而一个很自然的情况就是某个随机变量只能观测到一部分信息，为了描述这种情况，就出现了条件期望的概念。教授的原话：conditional expectation is what distinguishes probability from other subjects. 而把概率放在测度的框架下最大的原因就是为了保证条件期望的存在性。研究随机过程的时候，还需要描述随“时间”变化而增加的“信息”，就有了filtration。有了随“时间”变化而增加的“信息”之后，想要可以把随机变量“限制”于某个特定的“时间”，就有“停时” (stopping time) 的概念。然后，概率学家发现了一类对时间和信息变化性质良好的随机过程，叫做“鞅” (martingale)。在定理证明和解决问题里，一个通用的技巧就是定义一个停时，让这个随机过程或者随机微分方程 (SDE) 在这个停时里性质良好，这个性质通常是鞅性质，然后利用鞅的各种收敛、不等式、optional sampling、Itô's formula等等，得到想要的结果。本质上，这种技巧也是概率学家对“信息”变化的深刻理解。

虽然基于测度的概率论属于分析学，但概率学家和分析学家的思考方式还是很不一样的。分析学家一般会从随机变量的分布函数去考虑 ，一个典型例子就是中心极限定理，看了证明的话就会知道这其实是个分析学的定理。而概率学家则是从事件(可测集)去考虑问题。上面Doob's upcrossing和supermartingale convergence，还有强大数定理正是体现了这种思考方式。

作者：Langxuan Su
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Reference

分析学家和概率学家对随机的处理方式和思考方式很不一样。分析学家会主要会用一般分析的技巧去研究随机变量的分布函数和特征函数，而概率学家的核心思想是“信息”（可测性）的变化。