数学研究的革命——从研究对象到研究对象之间的映射
代数拓扑的两个基本内容：同调和同伦，反映了数学研究的两种范式。
对于一个复杂的对象 \(X\)，我们有两种研究它的方法：
- 一种是考虑从 \(X\) 到一个已知性质的对象 \(O\) 的映射 \(f: X \to O\)。常见的如 \(O = \mathbb{R}\)，这样的 \(f\) 就是函数。因为 \(\mathbb{R}\) 的性质我们是很熟悉的，这赋予了 \(f\) 这个集合许多结构，诸如可以加减乘除等。\(O\) 也可以是稍微抽象一些的东西，诸如群等代数对象，这就是同调论的根本想法。
- 另一种是考虑一个已知的对象 \(O\) 到未知的、我们要研究的对象 \(X\) 之间的映射 \(f: O \to X\)。如 \(O = \mathbb{R}\)，则得到 \(f\) 的集合是 \(X\) 中的路径空间，这是同伦论的底层逻辑。
这种从研究对象本身 \(X\) 到研究对象之间映射 \(f\) 的转变，是现代数学的一种重要转向。由此得到的范畴论革命，从底层改变了数学研究的思维方式和整体面貌。从中可以清晰地看到代数拓扑的重要性。
数学里很多时候，比起关心一个数学对象本身，我们更加关心从它出发的映射。
原因是映射构成的集合有更加丰富的结构。譬如线性空间的对偶空间就是从线性空间到数域的线性映射。这个对偶结构的优势在线性代数中还不明显，但在代数拓扑和层论中则更加突出。
代数拓扑的研究想法就是用简单的非平凡对象：圆，球面等来研究复杂的拓扑对象。具体方法就是研究圆到复杂对象的连续映射。这样做一个明显的好处就是，我们可以描述两个圆粘接拼合这样的操作——通过赋予映射构成的集合额外的代数结构。
层论与之类似：把一个未知的对象映射到已知的代数对象上，这样映射本身就可以进行代数操作，而进行数学描述。然后通过对象的操作反过来研究原来的未知对象。这与量子力学的想法也是类似的，我们没办法认识一个微观粒子，只能通过别的已知粒子与未知粒子进行交互作用得到的观测量来了解。
范畴论里的 Yoneda 引理则在更高的观点上支持了这个论题。就是说，一个范畴中的对象，等价于它和所有其他对象之间的态射。换一种解释的方法，就是如果两个对象与其他所有对象之间的关系一样，则没有办法在这个范畴中把这两个对象区分开来。
在哲学层面，这个甚至和许多其他领域的观点不谋而合。马克思就说过“人是所有社会关系的总和”。这与之前的说法也是不谋而合的。
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