2021年4月
交换代数笔记10
摘要： 反向极限 类似度量空间的完备化，要构造环的完备化，我们首先需要序列。我们考虑满同态列 $$\cdots \stackrel{\theta_{n+2}}{\longrightarrow} A_{n+1} \stackrel{\theta_{n+1}}{\longrightarrow} A_ \stac 阅读全文
posted @ 2021-04-24 09:27 Euler57721 阅读(421) 评论(0) 推荐(0)
交换代数笔记9
摘要： 平坦模 如果模$N$将任意正合序列$M'\to M\to M''$映射到正合序列$M' \otimes N \to M \otimes N \to M'' \otimes N$，那么就称$N$是平坦模；如果任意模同态列$M'\to M\to M''$是正合序列当且仅当$M' \otimes N \t 阅读全文
posted @ 2021-04-23 13:03 Euler57721 阅读(462) 评论(0) 推荐(0)
交换代数笔记8
摘要： 根理想 我们考虑环$A$上的理想$I$，以及自然同态$\pi: A \to A/I$，它将 \(\sqrt{I} = \{a \in A: 对于某个正整数r有a^r \in I\}\) 映射到幂零根$\mathfrak(A/I)\(，我们称\)\sqrt$是$I$的根理想。 代数簇 考虑由环$A = 阅读全文
posted @ 2021-04-01 05:28 Euler57721 阅读(585) 评论(0) 推荐(0)
2021年3月
交换代数笔记7
摘要： 戴德金整环 前一章研究了$\dim D = 0$的诺特环即阿廷环。本章研究一种$\dim D = 1$的诺特环：戴德金整环，它是主理想整环(PID)概念的夸张。戴德金整环被定义为满足$\dim D = 1$的诺特整闭整环。我们知道诺特环上的理想都有准素分解，而戴德金整环的理想不仅有唯一的准素分解，还 阅读全文
posted @ 2021-03-31 01:03 Euler57721 阅读(997) 评论(0) 推荐(0)
交换代数笔记6
摘要： 克鲁尔维数 环$A$的最长素理想链$p_0\subsetneq p_1 \subsetneq \dots \subsetneq p_n$，我们定义克鲁尔维数$\dim A = n$，以及素理想的高度$h(p_i) = i$。对于多项式环，我们有以下性质： 对于一般的环$A$， \(1 + \dim 阅读全文
posted @ 2021-03-28 13:25 Euler57721 阅读(896) 评论(0) 推荐(0)
交换代数笔记5
摘要： 整性 整性的概念是域论中代数元以及代数扩张的概念推广。设有两个环$A,B$满足$A\subset B$，如果$b\in B$是首一多项式$P(x) \in A[x]$的根，那么就成$b$是$A$的整元。$b_1, \dots, b_n$是$A$上的整元，当且仅当$A[b_1, \dots, b_n] 阅读全文
posted @ 2021-03-28 03:15 Euler57721 阅读(500) 评论(0) 推荐(0)
交换代数笔记4
摘要： 准素分解 把复杂的理想分解成简单理想之交是研究环结构的一种方法。例如，对于整数环的理想$n\mathbb$，如果$n$是不同素数的乘积，那么我们就可以分解成素理想的交 \(30\mathbb{Z} = 2\mathbb{Z}\cap 3\mathbb{Z}\cap 5\mathbb{Z}\) 但$n 阅读全文
posted @ 2021-03-27 08:03 Euler57721 阅读(565) 评论(0) 推荐(0)
交换代数笔记3
摘要： 分式环与分式模 我们知道从整环$A$出发可以构造$A$的分式域，其方法是选取$a\in A, s \in A-{0}$构造等价类 \((a, s) \equiv (b, t) \Leftrightarrow at - bs = 0\) 那么从一般环出发怎样构造分式环呢？其方法是从$A$的乘闭子集$S 阅读全文
posted @ 2021-03-26 13:14 Euler57721 阅读(417) 评论(0) 推荐(0)
交换代数笔记2
摘要： 正合序列 对于一串$A$模同态， \(\cdots \stackrel{f_{n-2}}{\longrightarrow} M_{n-1} \stackrel{f_{n-1}}{\longrightarrow} M_n \stackrel{f_{n}}{\longrightarrow} M_{n+1 阅读全文
posted @ 2021-03-26 01:15 Euler57721 阅读(324) 评论(0) 推荐(0)
交换代数笔记1
摘要： 在交换环的各种例子中，最典型的是多项式环$A[x]$和幂级数环$A[[x]]$。 多项式环$A[x]$是由$f(x) = a_0 + a_1x + \dots + a_nx^n$组成的环，它的性质包括： $f$在$A$可逆 $\Leftrightarrow a_0$在$A$中可逆，且$a_1,\do 阅读全文
posted @ 2021-03-16 14:28 Euler57721 阅读(267) 评论(0) 推荐(0)