交换代数笔记8

根理想
我们考虑环\(A\)上的理想\(I\)，以及自然同态\(\pi: A \to A/I\)，它将

\[\sqrt{I} = \{a \in A: 对于某个正整数r有a^r \in I\} \]

映射到幂零根\(\mathfrak{N}(A/I)\)，我们称\(\sqrt{I}\)是\(I\)的根理想。

代数簇
考虑由环\(A = \mathbb{C}[x_1, x_2,\dots,x_n]\)的理想\(I = (f_1, f_2, \dots, f_m)\)，理想中多项式的公共零点组成的集合\(V(I)\)称为一个代数簇。也即\(\forall f\in I, (a_1, a_2,\dots, a_n) \in V(I): f(a_1, a_2,\dots, a_n) = 0\)。同时，\(m = (x_1 - a_1, x_2 - a_2,\dots, x_n - a_n)\)是\(A\)中包含的极大理想，因此\(V(I)\)对应于所有包含\(I\)的极大理想。

我们知道希尔伯特零点定理的一般形式：若\(R\)是域上有限生成代数，则\(\mathfrak{N}(R) = \mathfrak{R}(R)\)。我们取\(R = A/I\)就得到：对任意\(m\in V(I)\)都有\(f \in m\)当且仅当\(f \in \sqrt{I}\)。用代数簇的语言说就是：

对于一组多项式\(f_1, f_2, \dots, f_m\)的任何公共零点\((a_1, a_2,\dots, a_n)\)，\(f\)都满足\(f(a_1, a_2,\dots, a_n) = 0\)，当且仅当存在正整数\(r > 0\)以及多项式\(g_1, g_2, \dots g_m\)使得\(f^r = g_1f_1 + g_2f_2 + \dots + g_mf_m\)。

这是代数几何的起点。

扎里斯基拓扑
我们现在将\(V(I)\)的一般形式推广到素理想上。设\(\text{Spec}(A)\)是环\(A\)全体素理想的集合，对于每个集合\(I \subset A\)，包含\(I\)的所有素理想\(V(I) \subset \text{Spec}(A)\)满足拓扑空间闭集的性质，构成\(X\)上的扎里斯基拓扑，拓扑空间\(\text{Spec}(A)\)称为环的谱。例如

• \(\text{Spec}(\mathbb{Z}) = \{(0)\}\)
• \(\text{Spec}(\mathbb{R}) = \{(0), (p)\}\)
• \(\text{Spec}(\mathbb{C}[x]) = \{(0), (x - a)\}\)
• \(\text{Spec}(\mathbb{R}[x]) = \{(0), (x - a), (x^2 + px + q)\}\)满足\(p^2 < 4q\)
• \(\text{Spec}(\mathbb{Z}[x]) = \{(0), (p), (f(x)), (p, f(x))\}\)其中\(f(x)\)是不可约多项式

我们看以下例题：

1. \(\text{Spec}(A)\)是紧豪斯多夫空间。
   我们令\(a\in A\)，\(X_a = \text{Spec}(A) - V(a) = V(1-a)\)是\(\text{Spec}(A)\)上的既开又闭的集合，所有\(X_a\)构成扎里斯基拓扑的基。
   我们考虑\(\text{Spec}(A) = \bigcup_a X_a = \text{Spec}(A) - \bigcap_a V(a)\)也即\(\bigcap_a V(a) = \varnothing\)。由于\(V(a) \bigcap V(1-a) = \varnothing\)，因此\(\bigcup_a X_a\)有有限子覆盖，从而\(\text{Spec}(A)\)是紧空间。
   任取\(p_1 \neq p_2 \in \text{Spec}(A)\)，可以找到\(a\)满足\(p_1 \in X_a, p_2 \in X_{1-a}\)，从而\(a\not \in p_1, a \in p_2\)，也即\(\text{Spec}(A)\)是紧豪斯多夫空间。

2. \(A\)的幂零根是素理想，当且仅当\(\text{Spec}(A)\)不可约，也即每一对非空开子集都相交。
   \(\text{Spec}(A)\)可约即存在\(a, b \in A - \mathfrak{N}\)满足\(V(a) \bigcup V(b) = V(ab) = \text{Spec}(A)\)，也即\(ab \in \mathfrak{N}\)。反过来，\(\text{Spec}(A)\)不可约即对任意\(a, b \in A - \mathfrak{N}\)都有\(ab \not \in \mathfrak{N}\)
   而\(\mathfrak{N}\)是素理想的定义是如果\(ab \in \mathfrak{N}\)，要么\(a\in \mathfrak{N}\)，要么\(b\in \mathfrak{N}\)，这是“不可约”的逆否命题，因而等价。

3. 若\(f: A \to B\)是环的整同态，则\(f^*: \text{Spec}(B)\to \text{Spec}(A)\)是闭映射。
   任取\(B\)中的素理想\(b\)，由于\(f\)是整同态，因此\(f^{-1}(b)\)也是素理想。\(V(b)\)是\(\text{Spec}(B)\)的闭集，则\(f^*(V(b)) = V(f^{-1}(b))\)是闭集，所以\(f\)是闭映射。

4. 若\(\text{Spec}(A)\)有2个连通分支，则存在\(a\)使得\(a^2 = a\)。
   存在性：设\(V(I_1), V(I_2)\)是两个连通分支。由\(V(I_1) \bigcap V(I_2) = \varnothing\)得\(I_1 + I_2 = A\)，由\(V(I_1) \bigcup V(I_2) = \text{Spec}(A)\)得\(I_1 I_2 = \mathfrak{N}\)。我们可以取\(a_1\in I_1, a_2 \in I_2\)，则存在正整数\(n\)满足\((a_1a_2)^n = 0\)，也即理想之积\((a_1^n)(a_2^n) = 0\)。根据这个性质我们展开

\[1 = (a_1 + a_2)^{2n - 1} = a_1^n\left[\binom{2n-1}{0}a_1^{n-1} + \dots + \binom{2n-1}{n-1}a_2^{n-1}\right] + a_2^n\left[\binom{2n-1}{n}a_1^{n-1} + \dots + \binom{2n-1}{2n-1}a_2^{n-1}\right] \]

我们设前一项为\(a\)，显然\(a\in (a_1^n), 1- a \in (a_2^n)\)，因此\(a(1- a ) = 0\)即\(a^2 = a\)。