交换代数笔记3

分式环与分式模
我们知道从整环\(A\)出发可以构造\(A\)的分式域，其方法是选取\(a\in A, s \in A-\{0\}\)构造等价类

\[(a, s) \equiv (b, t) \Leftrightarrow at - bs = 0 \]

那么从一般环出发怎样构造分式环呢？其方法是从\(A\)的乘闭子集\(S\)中选取\(s\)。有以下两类特殊情形：

1. 如果\(A\)是整环且\(S = A-\{0\}\)，那么\(S^{-1}A\)是分式域。
2. 如果\(p\)是素理想且\(S = A - p\)，那么\(A_p = S^{-1}A\)是局部环，\(a/s, a \in p, s\in S\)构成极大理想。

类似的，对于\(A\)上的模\(M\)，我们可以定义分式模：

\[(m,s) \equiv (m', s)\Leftrightarrow \exists t \in S \ni t(sm' - s' m) = 0 \]

我们看几个例题：

1. \(M\)是有限生成的\(A\)模，则\(S^{-1}M = 0\)当且仅当存在\(s \in S\)满足\(sM = 0\)。
   充分性：令\(M = \sum_i Ax_i\)，则对于每个\(x_i\)都满足\(\exists s_i \in S \ni s_ix_i = 0\)。设\(s = s_1 \dots s_n\)，那么我们任取\(m = a_1x_1 + \dots + a_nx_n \in M\)都有

\[sm = sa_1x_1 + \dots + sa_nx_n = 0 \]

必要性：设存在\(s \in S\)满足\(sM = 0\)，则任取\(m/t \in S^{-1}M\)都有\(s(1m -t0) = 0\)，即\(m/t = 0/1\in S^{-1}M\)

2. \(a\)是环\(A\)的理想，\(S = 1 + a\)，则\(S^{-1}a\)属于\(S^{-1}A\)的雅各布森根。
   我们只需要证明\(1/1 - S^{-1}a = 1/1 - (S^{-1}A)(S^{-1}a)\)由可逆元组成。我们任取\(x, y \in a\)，则

\[\frac{1}{1} - \frac{x}{1 + y} = \frac{1 + y - x}{1 + y} \]

由于\(1 + y - x \in S\)，因此\((1 + y - x)/(1 + y)\)的逆\((1 + y)/(1 + y - x)\in S^{-1}a\)

3. \(f: A \to B\)是环同态，\(S\)是\(A\)的乘闭子集。设\(T = f(S)\)，则\(S^{-1}B \cong T^{-1}B\)。
   令\(g: b / s \to b / f(s)\)，我们证明\(g\)是同构映射。如果\(b_1 / s_1 \neq b_2 / s_2\)即\(\forall t\in S \ni t(b_1 s_2 - b_2 s_1) \neq 0\)，那么\(\forall f(t)\in T \ni f(t)(b_1 f(s_2) - b_2 f(s_1)) = f(t(b_1 s_2 - b_2 s_1)) \neq 0\)即\(b_1 / f(s_1) \neq b_2 / f(s_2)\)，因此\(g\)是双射。
   又因为

\[g(\frac{a}{s_1} \cdot \frac{b}{s_2}) = \frac{f(a)b}{f(s_1)f(s_2)} = \frac{a}{s_1} g(\frac{b}{s_2}) \]

\[g(\frac{b_1}{s_1} + \frac{b_2}{s_2}) = g(\frac{b_1s_2 + b_2s_1}{s_1s_2}) = \frac{b_1f(s_2) + b_2f(s_1)}{f(s_1)f(s_2)} = g(\frac{b_1}{s_1}) + g(\frac{b_2}{s_2}) \]

所以\(g\)是同构映射。

4. 对环\(A\)的每个素理想\(p\)，如果\(A_p -\{0\}\)没有幂零元，那么\(A - \{0\}\)也没有幂零元。
   设\(\mathfrak{N}(A)\)是\(A\)的幂零根，那么\(\mathfrak{N}(A_p)\)是\(A_p\)的幂零根。如果\(A_p -\{0\}\)没有幂零元，那么\(\mathfrak{N}(A_p) = 0\)，也即\(\mathfrak{N}(A) = 0\)

5. \(A\)是非零环，则\(S\)是极大乘闭子集当且仅当\(A - S\)是\(A\)的极小素理想。
   充分性：由于\(S\)是极大乘闭子集，因此\(\forall a , b \in S\)都有\(ab \in S\)，也即\(ab\in A - S\)则\(a\in A - S\)或\(b \in A - S\)，即\(A - S\)是素理想。
   必要性：设\(p\)是素理想且\(S = A - p\)。则任取\(a, b \in S\)都有\(ab \in S\)。