交换代数笔记10

反向极限
类似度量空间的完备化，要构造环的完备化，我们首先需要序列。我们考虑满同态列

\[\cdots \stackrel{\theta_{n+2}}{\longrightarrow} A_{n+1} \stackrel{\theta_{n+1}}{\longrightarrow} A_{n} \stackrel{\theta_{n}}{\longrightarrow} A_{n-1} \stackrel{\theta_{n-1}}{\longrightarrow} \cdots\stackrel{\theta_{1}}{\longrightarrow} A_0 \]

其中。有一列序列\(\dots a_{n+1}, a_n, a_{n-1}\dots\)满足\(a_i \in A_i并且\theta_{n+1}(a_n+1) = a_n\)。所有这样的序列构成一个集合，称为同态列\(A_n\)的反向极限（因为\(A_n\)的下标是递减的），记为\(\lim_{\leftarrow} A_n\)。

\(I\)-adic完备化
接只要我们构造柯西序列，我们就完成了完备化。设\(G\)是群/环/模，它有\(G_0\supset G_1\supset \dots\)，其中每个\(G_n \triangleleft G\)。我们考虑\(G/G_n\)，它是随\(n\)缩小不断缩小的同态列。我们取\((a_n)\in \lim_{\leftarrow} G/G_n\)，如果对任意\(G_r\)，当\(m,n\)充分大时有\(a_m - a_n \in G_r\)，那么\((a_n)\)就是柯西序列。易验证柯西序列对于加法乘法运算封闭，并且\(G_r\)相当于拓扑空间的开领域。因此反向极限

\[\hat{G} = \lim_{\leftarrow} G/G_n \]

构成包含\(G\)的拓扑群/拓扑环/拓扑模，称为\(G\)的完备化。如果\(G\)是环且\(G_n = I^n\)，那就称\(\hat{G}\)是环\(G\)的\(I\)-adic完备化。

1. \(A\)是诺特环，\(I\subset A\)是理想，\(\hat{A}\)是\(I\)-adic完备化。设\(\hat{x} \in \hat{A}\)是\(x\in A\)的像，则\(\hat{x}\)是零因子\(\Rightarrow x\)是零因子。
   我们取足够大的\(n\)满足\(x\not \in I^n\)，考虑自然同态\(\pi: A\to A/I^n\)。由于\(A\)是诺特环，因此\(\hat{A}\)是平坦\(A\)代数。对于任意\(n\)有正合序列

\[0 \to I^n \to A \to A/I^n \to 0 \]

因此

\[0 \to I^n\otimes \hat{A} \stackrel{f}{\longrightarrow} \hat{A} \stackrel{g}{\longrightarrow} A/I^n\otimes \hat{A} \to 0 \]

也是正合的。由\(x\not \in I^n\)得\(x\otimes \hat{x}\not \in I^n\otimes \hat{A}\)，也即\(g(\hat{x}) = \pi(x)\otimes \hat{x} \neq 0\)。但\(\hat{x}\)是零因子，所以存在\(g(\hat{a}\hat{x}) = \pi(ax) \otimes 0 = 0\)，也即\(ax\in I^n\)。令\(n\to \infty\)，则得到\(ax \in (0)\)。

2. \(I\)是环\(A\)的理想，\(I\)包含在\(A\)的雅各布森根中当且仅当\(A\)的每个极大理想在\(I\)-adic完备化中是闭的（这样的环称为扎里斯基环）。
   我们证明对于极大理想\(m\)，\(I \subset m \Leftrightarrow A - m\)是\(I\)-adic完备化的开集。
   充分性：任取\(x \in A - m\)，开邻域\(x + I^n \subset x + m\)与\(m\)不交，因此\(A - m\)是开集。
   必要性：我们反设\(I \not \subset m\)则\(I^n \not \subset m\)，取\(x \in I^n - m\)，由\(m \subsetneq I + m = (1)\)我们有\(1 - x^n \in m\)。因此对\(1 \in A - m\)任意开邻域\(1 - x^n \in (1 + I^n) \bigcap m\)，因此\(A - m\)不是开集。

3. \(A\)是诺特环，\(I\subset A\)是理想，\(\hat{A}\)是\(I\)-adic完备化，则\(\hat{A}\)是忠实平坦\(A\)代数当且仅当\(A\)是扎里斯基环。
   由题意\(\hat{A}\)是平坦\(A\)代数，且\(I\)是有限生成的理想。
   充分性：我们证明\(\hat{I}\)包含在\(\hat{A}\)的雅各布森根中，从而根据\(A\to \hat{A}\)得到\(A\)是扎里斯基环。
   任取\(\hat{x}\in \hat{I}，\hat{y}\in \hat{A}\)，则\(\hat{a} = \hat{x}\hat{y} = \hat{xy}\in \hat{I}\)，我们考虑

\[(1-\hat{a})^{-1} = 1 + \hat{a} + \hat{a^2} + \dots \]

由于\(a^n \in I^n\)，因此\((1-\hat{a})^{-1} \in \hat{A}\)，从而\(\hat{x} \in \mathfrak{R}(\hat{A})\)。
必要性：如果\(I\)包含在\(A\)的雅各布森根中，那么任意有限生成的\(A\)模\(M\)满足\(\bigcap I^nM = 0\)。取\(\hat{a}\in \text{Ann}_A(\hat{A})\)，我们构造分式模\(M = S(I)^{-1}\hat{a}\)，其中\(S(I) = I \bigcup \{1\}\)。由于\(I\)是有限生成的理想，因此\(M\)是有限生成\(A\)模。于是我们得到\(\hat{a} \in \bigcap I^nM = 0\)，所以\(\hat{A}\)是忠实的\(A\)代数。