交换代数笔记9

平坦模
如果模\(N\)将任意正合序列\(M'\to M\to M''\)映射到正合序列\(M' \otimes N \to M \otimes N \to M'' \otimes N\)，那么就称\(N\)是平坦模；如果任意模同态列\(M'\to M\to M''\)是正合序列当且仅当\(M' \otimes N \to M \otimes N \to M'' \otimes N\)是正合序列，那么就称\(N\)是忠实平坦模。
对于环R的模M，我们有等价定义：

\[M是平坦R模\Leftrightarrow 任意理想I\subset R满足I\otimes M \cong IM \]

对于环R的平坦模M，我们有等价定义：

\[M是忠实平坦R模\Leftrightarrow 任意非零R模N满足M\otimes N \neq 0\Leftrightarrow 任意极大理想P\subset R满足PM\neq M \]

我们还发现，（忠实）平坦性有良好性质：

1. 若\(M,N\)是（忠实）平坦模，则\(M\otimes N\)也是（忠实）平坦模。
2. 若\(M\)是（忠实）平坦\(R\)模而\(A\)是\(R\)代数，则\(M\otimes_R A\)也是（忠实）平坦\(A\)模。
3. 若\(M\)是（忠实）平坦\(A\)模而\(A\)是（忠实）平坦\(R\)代数，则\(M\)也是（忠实）平坦\(R\)模。

我们看以下例题：

1. \(M\)是一组模\(M_i\)的直和，则\(M\)是平坦模 \(\Leftrightarrow\) \(M_i\)都是平坦模。
   我们考虑正合序列

\[N'\stackrel{f}{\longrightarrow} N \stackrel{g}{\longrightarrow} N'' \]

如果我们再令\(h: M \to M_i\)，那么通过交换图表得知以下序列都是正合的

\[M \otimes N' \stackrel{\text{id}\otimes f}{\longrightarrow} M \otimes N \stackrel{\text{id}\otimes g}{\longrightarrow} M \otimes N'' \]

\[\Leftrightarrow M_i \otimes N' \stackrel{\text{id}\otimes f}{\longrightarrow} M_i \otimes N \stackrel{\text{id}\otimes g}{\longrightarrow} M_i \otimes N'' \]

2. 多项式环\(A[x]\)是平坦的\(A\)代数。
   作为环\(A\)上的模\(A\)是平坦的，因为任意模\(M\)都满足\(M\otimes A = M\)。因此\(A[x] \cong \oplus_{i\in I} A_i\)也是平坦的。
3. \(R\)是诺特整环而\(M\)是有限生成的平坦\(R\)模，则\(M\)在\(R\)上忠实平坦。
   我们只需证明\(\text{Ann}_R(M) = 0\)。我们知道\(S^{-1}\text{Ann}_R(M) = \text{Ann}_{S^{-1}R}(S^{-1}M)\)。我们知道诺特环的分式环可以分解为域的直积

\[S^{-1}R \cong K_1 \times K_2 \times \cdots \times K_n \]

因此有限生成的模可以表示为

\[S^{-1}M \cong a_1V_1 + a_2V_2 + \cdots + a_nV_n \]

其中\(a_i\)是生成元，\(V_i\)是\(K_i\)上的向量空间。要在向量空间中满足\(k_ia_iv_i = 0\)，我们可以取\(m/s = a_1v_1 + a_2v_2 + \cdots + a_nv_n\)令所有\(k_i = 0\)。这样一来，\(\text{Ann}_{S^{-1}R}(m/s) = 0\)也即\(\text{Ann}_R(m) = 0\)。

4. \(A\)为平坦\(R\)代数，\(I\subset A, J \subset R\)是理想，如果\(A/J\)在\(R\)上平坦，那么\(IA\bigcap J = IJ\)。
   通过题意建立的自然同态满足正合序列

\[0\stackrel{}{\longrightarrow} J \stackrel{}{\longrightarrow} A \stackrel{}{\longrightarrow} A/J \stackrel{}{\longrightarrow} 0 \]

由平坦性，我们得到

\[0\stackrel{}{\longrightarrow} IJ \stackrel{f}{\longrightarrow} IA \stackrel{g}{\longrightarrow} I\otimes_R A/J \stackrel{}{\longrightarrow} 0 \]

我们只需验证\(\ker(g) = IA\bigcap J\)。首先有\(g(J) = 0\)，其次对于任意\(i\in I, a\in A\)如果\(g(ia) = 0\)，那么要么\(i = 0\)，要么\(a \in f(J)\)，因此\(ia \in J\)。