2022年5月
李群和李代数2
摘要： 李群和李代数的有限表示 令$G$是一个矩阵李群，它的一个有限表示是形如$\Pi: G \to \text{GL}(V)$的映射，其中$V$为有限维实/复线性空间；类似的，若$\mathfrak{g}\(是一个矩阵李群，它的一个**有限表示**是形如\)\pi: G \to \text{gl}(V)$ 阅读全文
posted @ 2022-05-14 00:23 Euler57721 阅读(424) 评论(0) 推荐(0)
李群和李代数1
摘要： 常用的矩阵李群及其李代数 所有矩阵均定义在$\mathbb{C}$上。其中， $$g = \begin{bmatrix} I & 0\ 0 & -I \end{bmatrix}\qquad \Omega = \begin{bmatrix} 0 & I\ -I & 0 \end{bmatrix}$$ 阅读全文
posted @ 2022-05-02 05:58 Euler57721 阅读(590) 评论(0) 推荐(0)
2021年12月
《算术教程》笔记8
摘要： 模群 令$\mathbb{H}\(是\)\mathbb{C}$的上半平面，也即任意$z\in \mathbb{H}\(满足\)\text{Im}(z) > 0$。对任意矩阵 $$g = \begin{bmatrix} a & b\ c & d \end{bmatrix}\in \mathbf{PSL 阅读全文
posted @ 2021-12-17 13:53 Euler57721 阅读(240) 评论(0) 推荐(0)
《算术教程》笔记7
摘要： 模函数、模形式、尖点形式 令$q = \exp(2\pi i z)$，我们考虑以下形式的函数 \(f(z) = \sum_{n=m}^\infty c(n)q^n\) 并且满足权重条件 \(f\left(\frac{az+b}{cz+d}\right) = (cz+d)^{k}f(z), k \in 阅读全文
posted @ 2021-12-16 12:20 Euler57721 阅读(266) 评论(0) 推荐(0)
《算术教程》笔记6
摘要： 特征标 令$G$是一个有限的交换群，则$G\to\mathbb{C}*$的同态称为$G$的特征标。$G$的所有特征标组成一个有限的交换群，记$\hat{G} = \text{Hom}(G, \mathbb{C}*)$。我们发现对于$x\in G$，特征标的映射$\epsilon: \chi \to 阅读全文
posted @ 2021-12-12 09:21 Euler57721 阅读(122) 评论(0) 推荐(0)
2021年11月
《算术教程》笔记5
摘要： 幺模格 如果一个秩为n的自由阿贝尔群$E$上定义了一个对称的双线性形式$(x, y) \to x.y$，则称$E$为格。格中任意元素$a\in E$的范数定义为$a.a$。如果我们把$E$看作$\mathbb{Z}$上的模，那么范数就是$E$上的二次型。如果$E$中任何元素的范数都是偶数，则称$E$ 阅读全文
posted @ 2021-11-30 06:05 Euler57721 阅读(309) 评论(0) 推荐(0)
《算术教程》笔记4
摘要： 二次型 令$V$是交换环$K$上的模，如果函数$f: V \to K$满足 对任意$a\in K, v \in V$，都有$f(ax) = a^2 f(x)$ $f(x+y) - f(x) - f(y)$是双线性形式。 那么$(V,f)$就称为$K$上的二次型。本章中，我们设$K$为特征不为2的域， 阅读全文
posted @ 2021-11-28 02:42 Euler57721 阅读(271) 评论(0) 推荐(0)
《算术教程》笔记3
摘要： 希尔伯特符号 希尔伯特符号常用于类域论中。对于域$Q_v$，$v$为素数或无穷（令$Q_\infty = R$），它的定义如下： $$(a, b)_v = \begin{cases} 1 & 如果ax2 + by2 = 1在Q_v^*上有解\ -1 & 如果ax2 + by2 = 1在Q_v^*上无 阅读全文
posted @ 2021-11-26 15:49 Euler57721 阅读(181) 评论(0) 推荐(0)
《算术教程》笔记2
摘要： p进数 对于一个素数，我们令$A_n = Z/pnZ$，可以构造如下的反向极限$\lim_{\leftarrow} A_n$ \(\to A_n \to \cdots \to A_2 \to A_1\) 其中$\phi_n: A_n \to A_{n-1}$是模$p{n-1}$的满射。 反向极限中的 阅读全文
posted @ 2021-11-26 13:32 Euler57721 阅读(210) 评论(0) 推荐(0)
2021年10月
《算术教程》笔记1
摘要： Chevalley-Warning 定理 令$K$是$q = pf$阶域，$f_\alpha$是域$K$上一组多元多项式，满足$\sum_\alpha \deg f_\alpha < n$，令$V \subset Kn$是它们的公共零点，则有 \(\text{Card}(V) = 0 \quad ( 阅读全文
posted @ 2021-10-28 01:39 Euler57721 阅读(307) 评论(0) 推荐(0)
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