交换代数笔记2

正合序列
对于一串\(A\)模同态，

\[\cdots \stackrel{f_{n-2}}{\longrightarrow} M_{n-1} \stackrel{f_{n-1}}{\longrightarrow} M_n \stackrel{f_{n}}{\longrightarrow} M_{n+1} \stackrel{f_{n+1}}{\longrightarrow} \cdots \]

如果对所有的\(n\)都有\(\ker f_n = \text{im} f_{n-1}\)，则这串\(A\)模同态称为正合序列。
通过正合序列，我们引出著名的Schanuel引理：如果

\[0\stackrel{}{\longrightarrow} K \stackrel{f}{\longrightarrow} P \stackrel{g}{\longrightarrow} M \stackrel{}{\longrightarrow}0 \]

\[0\stackrel{}{\longrightarrow} K' \stackrel{f'}{\longrightarrow} P' \stackrel{g'}{\longrightarrow} M \stackrel{}{\longrightarrow}0 \]

都是短正合序列且\(P,P'\)是投射模，则\(K \oplus P' \cong K' \oplus P\)。
要证明这个引理，我们定义

\[X = \{(p, q) \in P \oplus P': g(p) = g'(q)\} \]

我们构造\(A\)模同态\(\pi(p, q) = p, \pi'(p, q) = q\)，由于\(\pi,\pi'\)是满射且\(\ker \pi \cong \ker g'\)，我们得到新的短正合序列

\[0\stackrel{}{\longrightarrow} K \stackrel{f\oplus 0}{\longrightarrow} X \stackrel{\pi}{\longrightarrow} P' \stackrel{}{\longrightarrow}0 \]

\[0\stackrel{}{\longrightarrow} K' \stackrel{f'\oplus 0}{\longrightarrow} X \stackrel{\pi'}{\longrightarrow} P \stackrel{}{\longrightarrow}0 \]

由于\(P,P'\)是投射模，因此\(X = K \oplus P' \cong K' \oplus P\)。

张量积
\(M,N\)都是\(A\)模，那么\(M\otimes_A N = \sum_{m\in M, n\in N} m \otimes n\)，注意这里的加法不是直积的加法，而是双线性加法，满足以下性质：

\[m \otimes (n_1 + n_2) = m \otimes n_1 + m \otimes n_2 \]

\[(m_1 + m_2) \otimes n = m_1 \otimes n + m_2 \otimes n \]

\[am \otimes n = m \otimes an, \forall a \in A \]

在没有歧义的时候，我们通常省略\(A\)，写作\(M\otimes_A N\)。

1. 若\(m, n\)互素，则\((\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})\otimes_\mathbb{Z}(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}) = 0\)
   由于\(m, n\)互素，因此可以找到整数\(a,b\)使\(am + bn = 1\)。我们任取\(x \in \mathbb{Z}/m\mathbb{Z}, y\in \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\)都有

\[x \otimes y = (am+bn)x \otimes y = a(mx\otimes y) + b(x\otimes ny) = 0 \]

2. 令\(a\)是环\(A\)的理想，\(M\)是\(A\)模，则\(A/a\otimes M \cong M/aM\)。
   我们直到存在短正合序列\(0\to a\to A \to A/a \to 0\)，所以张量积

\[0\to a\otimes M \stackrel{f}{\longrightarrow} A\otimes M \stackrel{g}{\longrightarrow} A/a\otimes M \to 0 \]

也是短正合序列。因此

\[M/aM \cong A\otimes M / (a\otimes M) = \text{Coker}(f) \cong A/a\otimes M \]

3. \(L, L'\)是域\(K\)的有限伽罗瓦扩张，且\(K = L \bigcap L'\)，则\(L\otimes_K L' \cong LL'\)。
   不失一般性，设\(L = K(\alpha)\)且\(f(x)\)是\(\alpha\)在\(K\)上的生成多项式。由2我们可以构造同构

\[L \otimes_K L' \cong K[x]/(f) \otimes_{K[x]} L'[x] \cong L'[x]/(f) \cong L'(\alpha) = LL' \]

有限生成
如果一个\(A\)模可以表征成\(M = \sum_{i < \infty} Ax_i\)，那么就称\(M\)是有限生成的。

1. 设\(A\)是局部环，\(M\)和\(N\)是有限生成的\(A\)模。如果\(M\otimes N = 0\)，那么要么\(M = 0\)要么\(N = 0\)
   令\(m\)是局部环\(A\)的极大理想，\(k=A/m\)是剩余类域。设\(M_k = k\otimes_A M \cong M/mM\)，由Nakayama引理，\(M_k = M/mM = 0 \Rightarrow aM = M \Rightarrow M = 0\)。
   由于\(M_k\)和\(N_k\)是的\(k\)上的向量空间，因此

\[M \otimes_A N = 0 \Rightarrow (M \otimes_A N)_k = 0 \Rightarrow M_k \otimes_k N_k = 0 \Rightarrow M_k = 0 或 N_k = 0 \Rightarrow M = 0 或 N = 0 \]

根据向量空间的直积，要么\(M_k = 0\)要么\(N_k = 0\)。

2. 正合序列\(0\to M' \to M \to M'' \to 0\)中，如果\(M'\)和\(M''\)是有限生成的，\(M\)也是有限生成的。
   令\(M' = \sum_{i < \infty} A x'_i\)，我们发现

\[\ker(g) = \text{Im}(f) = \sum_{i < \infty} A f(x'_i) \]

是有限生成的。并且我们知道\(M/\ker(g) \cong M''\)也是有限生成的。因此

\[M \cong \ker(g) \otimes M/\ker(g) \]

是有限生成的。