交换代数笔记1

在交换环的各种例子中，最典型的是多项式环\(A[x]\)和幂级数环\(A[[x]]\)。

多项式环\(A[x]\)是由\(f(x) = a_0 + a_1x + \dots + a_nx^n\)组成的环，它的性质包括：

1. \(f\)在\(A[x]\)可逆 \(\Leftrightarrow a_0\)在\(A\)中可逆，且\(a_1,\dots, a_n\)是\(A\)的幂零元。
   充分性：我们对\(f\)的次数做数学归纳法。设\(f^{-1}(x) = b_0 + b_1x + \dots + b_mx^m\)，也即

\[f(x)f^{-1}(x) = \sum_{i,j} a_ib_j x^{i+j} \]

不难看出\(a_0\)可逆并且\(x^k\)的系数满足

\[c_k = \sum_i a_ib_{k-i} = 0, 0<k\leq m+n \]

我们依次计算

\[a_nc_{m+n-1} = a_n^2b_{m-1} + a_{n - 1}a_nb_{m} = a_n^2b_{m-1} = 0 \]

\[a_n^2c_{m+n-2} = a_n^3b_{m-2} + a_{n - 1}a_n^2b_{m-1} + a_{n-2}a_n^2b_m = a_n^3b_{m-2} = 0 \]

\[\dots \]

\[a_n^mc_n = a_n^{m+1}b_0 = 0 \]

再乘以\(a_0\)即可得到\(a_n^{m+1} = 0\)。

必要性：设\(b_1,\dots, b_n\)是\(a_1,\dots, a_n\)的零因子，则\(a_0^{-1} + b_1b_2\dots b_nx\)是\(f\)的逆。
2. \(f\)是零因子 \(\Leftrightarrow A\)中存在\(a \neq 0\)满足\(af = 0\)。
必要性显然。充分性：设\(f(x)\)的零因子是\(g(x) = b_0 + b_1x + \dots + b_mx^m\)，那么我们取\(a = b_0b_1\dots b_m\)。

3. \(f\)是\(A[x]\)的幂零元 \(\Leftrightarrow a_0,a_1,\dots, a_n\)是\(A\)的幂零元。
   \(\mathfrak{P}[x]\)是素理想 \(\Leftrightarrow A[x]/\mathfrak{P}[x]\) 没有零因子 \(\Leftrightarrow A/\mathfrak{P}\) 没有零因子 \(\Leftrightarrow \mathfrak{P}\)是素理想
   鉴于幂零根是所有素理想之交，

\[\mathfrak{N}(A[x]) = \bigcap(\mathfrak{P}[x]) = \left(\bigcap\mathfrak{P}\right)[x] = \mathfrak{N}(A)[x] \]

4. \(A[x]\)中雅各布森根与幂零根相等。
   从雅各布森根任取元素\(f \in \mathfrak{R}\)，那么对于任意\(x\in A\)都有\(1-xf\)可逆，由1得\(f\)的系数\(a_i\)都是幂零元，再由3得\(f\)是\(A[x]\)的幂零元，也即\(\mathfrak{R} = \mathfrak{N}\)。

幂级数环\(A[[x]]\)是由\(f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_nx^n\)组成的环，它的性质包括：

1. \(f\)在\(A[[x]]\)可逆 \(\Leftrightarrow a_0\)在\(A\)中可逆。
   充分性：设\(f^{-1}(x) = \sum_{m=0}^\infty b_mx^m\)，则\(a_0b_0 = 1\)
   必要性：设\(g(x) = \sum_{m=0}^\infty b_mx^m\)，则\(f(x)g(x) = \sum_{k=0}^\infty\sum_{m=0}^k a_{k-m}b_{m}x^k\) 我们取

\[b_m = -a_0^k\left(\sum_{n=1}^m a_nb_{m-n}\right) \]

可通过递推发现\(f(x)g(x) = 0\)。

2. 如果\(f\)是\(A[[x]]\)的幂零元，那么每个\(a_n\)都是\(A\)中的幂零元。
   证法同\(A[x]\)。

3. \(f\)属于\(A[[x]]\)的雅各布森根 \(\Leftrightarrow a_0\) 属于\(A\)的雅各布森根。
   通过1得到：
   \(f\)属于\(A[[x]]\)的雅各布森根 \(\Leftrightarrow \forall g\in A[[x]], 1- fg\)可逆 \(\Leftrightarrow \forall b_0\in A[[x]], 1- a_0b_0\)可逆 \(\Leftrightarrow a_0\) 属于\(A\)的雅各布森根

4. \(A[[x]]\)极大理想的收缩是\(A\)中的极大理想。
   任取\(A\)的极大理想\(\mathfrak{M}\)，则\(A/\mathfrak{M}\)的每个元素都可逆。由1可知，\(A[[x]]/(\mathfrak{M} + (x))\)的每个都可逆，也即\(\mathfrak{M} + (x)\)是\(A[[x]]\)的极大理想。

5. \(A\)的素理想都是\(A[[x]]\)素理想的收缩。
   令\(\mathfrak{P}\)是\(A\)的素理想，我们构造\(\mathfrak{Q} = \mathfrak{P}A[[x]] + (x)\)，因为\(A/\mathfrak{P}\)没有零因子，所以\(A[[x]]/\mathfrak{Q}\)没有零因子，也即\(\mathfrak{Q}\)是素理想。