交换代数笔记6

克鲁尔维数
环\(A\)的最长素理想链\(p_0\subsetneq p_1 \subsetneq \dots \subsetneq p_n\)，我们定义克鲁尔维数\(\dim A = n\)，以及素理想的高度\(h(p_i) = i\)。对于多项式环，我们有以下性质：

1. 对于一般的环\(A\)，

\[1 + \dim A \leq \dim A[x] \leq 1 + 2 \dim A \]

考虑\(A\)的素理想链\(p_0\subsetneq p_1 \subsetneq \dots \subsetneq p_n\)，我们得到

\[p_0[x]\subsetneq p_1[x] \subsetneq \dots \subsetneq p_n[x]\subsetneq p_n+(x) \]

是\(A[x]\)的素理想链，因此\(1 + \dim A \leq \dim A[x]\)。

考虑嵌入映射\(f: A \to A[x]\)及其谱映射\(\hat{f}: \text{Spec}(A[x]) \to \text{Spec}(A)\)。\(f^*\)在\(p\)上的纤维满足同胚\(\hat{f}^{-1}(p) \cong \text{Spec}(\kappa(p)[x])\)其中\(\kappa(p) = A_p/pA_p\)。由于\(\kappa(p)\)是域，因此\(\dim k(p)[x] = 1\)，也即\(\text{Spec}(A[x])\)中映射到\(p\)的素理想链最多有2个素理想。\(\text{Spec}(A)\)的素理想链最多包含\(1 + \dim A\)个素理想，则其原像\(\text{Spec}(A[x])\)中的素理想链最多包含\(2 + 2\dim A\)个素理想，也即\(\dim A[x] \leq 1 + 2\dim A\)。

2. 对于诺特环\(A\),

\[\dim A[x] = 1 + \dim A \]

考虑嵌入映射\(f: A \to A[x]\)，令\(q \subset A[x]\)是任意素理想，则\(p = f^{-1}(q)\)是\(A\)的素理想，我们只需证明\(h(q) \leq 1 + h(p)\)。我们首先证明\(h(p[x]) = h(p)\)：设\(h(p) = m\)，一方面\(p\)是\(a = (a_1, a_2, \dots, a_m)\)上的极小素理想，因此\(p[x]\)是\(a[x]\)上的极小素理想，从而\(h(p[x]) \leq m\)；另一方面，\(A\)上的素理想链\(p_0 \subsetneq p_1 \subsetneq \dots \subsetneq p_m\)对应\(A[x]\)上的素理想链\(p_0[x] \subsetneq p_1[x] \subsetneq \dots \subsetneq p_m[x]\)，因此\(h(p[x]) \geq m\)。所以\(h(p[x]) = h(p)\)。

现在我们对\(h(p)\)做归纳。当\(h(p) = 0\)则\(f^{-1}(q)\)是极小素理想，根据克鲁尔主理想定理，\(h(q) \leq 1\)；设\(h(p) < m\)时\(h(q) \leq m\)，则当\(h(p) = m\)时，考虑\(q\)的真子理想\(q'\)。如果\(f^{-1}(q')\subsetneq p\)，那么\(h(f^{-1}(q')) < h(p) = m\)则根据假设\(h(q') \leq m\)；如果\(f^{-1}(q') = p\)，那么由于\(A[x]\)是\(A\)的整扩张，根据上升定理有\(p[x] = q'\),也即\(h(q') = h(p[x]) = m\)。由于\(q\)是任意的真子理想，所以\(h(q) \leq 1 + h(p)\)。

诺特环和阿廷环
诺特环和阿廷环是交换代数研究的重点，因为环中的理想都有一个准素分解。理想满足升链条件的交换环是诺特环，理想满足降链条件的交换环是阿廷环。表面看，诺特环和阿廷环是对称的，然而这是误解。事实上我们可以得到以下定理：

\[A是诺特环\Leftrightarrow A的理想都是有限生成的 \]

\[A是阿廷环\Leftrightarrow A是诺特环且\dim(A) = 0 \]

某些意义上，阿廷环的结构十分简单，它是有限个阿廷局部环的直积，每个阿廷局部环的理想都是主理想。而诺特环的结构更多变，以下的例子都是诺特环：

1. 在圆周\(|z| = 1\)上没有极点\(z\)的有理函数环。
   这是\(\mathbb{C}[z]\)的分式环，由于\(\mathbb{C}[z]\)是诺特环，因此此环也是诺特环。

2. 具有有限收敛半径的幂级数环。
   任取幂级数\(f\in A\)可以写成\(f = z^m g\)，其中\(g\in A\)是常数项不为\(0\)的级数，因此是\(\mathbb{C}[[z]]\)的可逆元。由于收敛半径有限，因此\(g^{-1} \in A\)以及\(fg^{-1} = z^m\in A\)，从而\((f) = (z^m)\)，因此\(A\)中的理想是\(\dots(z^2) \supset (z) \supset \{0\}\)，从而是诺特环。

3. 前\(n\)阶导数在原点为0的多项式环。
   此环是由不包含低于\(n\)次项的多项式组成，\(f: x^n p(x) \to p(x)\)建立了到\(\mathbb{R}[x]\)上的环同构，因此是诺特环。

4. \(\mathbb{C}\)上在零点有定义的解析函数组成的环。
   如果考虑在零点处的洛朗级数，此环同构于\(\mathbb{C}[[x]]\)。根据希尔伯特基定理，由于域\(\mathbb{C}\)是诺特环，它的幂级数环也是诺特环。

我们来看一些例题：

1. 设\(A\)是诺特环，\(f = \sum_{n=0}^\infty a_nx^n\in A[[x]]\)，则\(f\)是幂零元当且仅当每个\(a_n\)是幂零元。
   充分性显然。必要性：\(A\)的幂零根是幂零的，也即从幂零根任取\(b_1, \dots, b_m\)都有

\[b = \prod_{i=1}^m b_i = 0 \]

，则\(f^m\)每项\(a_n\)都被\(b\)整除，因此\(f^m = 0\)。

2. 设\(k\)是域，\(A\)是有限生成的\(k\)代数，则\(A\)是阿廷环\(\Leftrightarrow A\)是有限\(k\)代数。
   充分性：我们将其分解为有限个阿廷局部环的直积，也即\(A = \prod_i A_i\)。任取\(a_i \in A_i\)可以写成

\[a_i = f(a_{i1})x_1 + \cdots + f(a_{in})x_n \]

由于\(A_i\)的极大理想是主理想，因此

\[a_i = f(a_{i1})x_1 \]

所以\(A\)是有限\(k\)代数。
必要性：由题意，\(A\)是\(k\)上的有限维向量空间，因此其理想满足降链条件，是阿廷环。