交换代数笔记5

整性
整性的概念是域论中代数元以及代数扩张的概念推广。设有两个环\(A,B\)满足\(A\subset B\)，如果\(b\in B\)是首一多项式\(P(x) \in A[x]\)的根，那么就成\(b\)是\(A\)的整元。\(b_1, \dots, b_n\)是\(A\)上的整元，当且仅当\(A[b_1, \dots, b_n]\)是有限生成的\(A\)模。

所有A的整元构成\(B\)的子环\(C\)，称为\(A\)的整闭包。如果\(C=A\)，则称\(A\)在\(B\)中整闭；如果\(C=B\)，则称\(B\)为\(A\)的整扩张。如果整环\(A\)在它的分式域\(S^{-1}A\)中整闭，则称\(A\)是整闭整环。

如果环同态\(f: A \to B\)满足\(B\)是\(f(A)\)的整扩张，则\(f\)叫做整同态，\(B\)叫做整\(A\)代数。

1. 设\(f: B \to B'\)是\(A\)代数同态，\(C\)是\(A\)代数。如果\(f\)是整同态，那么\(f\otimes 1: B \otimes C \to B' \otimes C\)也是整同态。
   任取\(x\otimes c \in B' \otimes C\)，我们知道\(x\)是\(f(B)\)的整元，即满足

\[\sum_i f(b_i)x^i = 0，其中b_n = 1, b_i\in B \]

\[\sum_i (f(b_i)\otimes c^{n-i})(x\otimes c)^i = \sum_i f(b_i)x^i\otimes c^n = 0，其中b_n = 1, b_i\in B \]

由于\(C\)是\(A\)代数，因此\(x\otimes c\)是\(f(B)\otimes C\)上的整元，也即\(f\otimes 1\)是整同态。

2. \(B_1, \cdots ,B_n\)是整\(A\)代数，则\(B_i\)的直积也是整\(A\)代数。
   设\(f_i: A \to B_i\)是整同态，也即任取\(b_i \in B_i\)都可以找到首一多项式\(p_i \in f(A)[x]\)满足

\[p_i(b_i) = 0 \]

我们构造

\[p(b_1, \dots, b_n) = (p_i(b_1),\dots ,p_i(b_n)) = 0 \]

显然\(p\)是\(A[x_1, x_2, dots, x_n]\)上的首一多项式，并映射到\(B_i\)的直积上，因此\(B_i\)的直积也是整\(A\)代数。

3. 设\(A\)是\(B\)的子环，\(B-A\)是乘闭子集，则\(A\)在\(B\)中整闭。
   假设\(x\)满足\(A\)上的首一多项式

\[x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_0 = 0 \]

\[x(x^{n-1} + a_{n-1}x^{n-2} + \dots + a_1) \in A \]

由于\(B-A\)是乘闭子集，因此要么\(x \in A\)，要么\(x^{n-1} + a_{n-1}x^{n-2} + \dots + a_1\)。如果是后者，我们可以继续分解，直到\(x - a_{n-1} \in A\)，因此\(x \in A\)。

4. 设\(A\)是整闭整环，\(K\)是其分式域，\(L\)是\(K\)的有限伽罗瓦扩张，\(B\)是\(A\)在\(L\)中的整闭包，那么任何\(\sigma \in \text{Gal}(L/K)\)都满足\(\sigma(B) = B\)。
   任取\(b\in B\)，由\(B\)是\(A\)的整闭包存在\(a_i \in A\)满足

\[\sum a_ib^i = 0 \]

\[0 = \sigma(\sum a_ib^i) = \sum a_i\sigma(b)^i \]

\[0 = \sigma^{-1}(\sum a_ib^i) = \sum a_i\sigma^{-1}(b)^i \]

因此，\(\sigma(b)\)和\(\sigma^{-1}(b)\)都是整元，\(\sigma(B) = B\)得证。

上升与下降
整性的应用之一就是刻画了素理想的“上升”与“下降”性质。设\(B\)是\(A\)的整扩张，则有以下性质：

• (卧上, LO) 对于\(A\)的任意素理想\(p\)，存在\(B\)的素理想\(q\)满足\(q \bigcap A = p\)，称为\(q\)卧于\(p\)上。
• (上升, GU) 对于\(A\)的素理想列\(p_1 \subset p_2 \subset \dots \subset p_n\)和\(B\)的素理想列\(q_1 \subset q_2 \subset \dots \subset q_m (m < n)\)，如果其中每个\(q_i\)卧于\(p_i\)上，那么\(B\)的素理想列可扩充为\(q_1 \subset q_2 \subset \dots \subset q_n\)。
• (下降, GD) 若\(A\)是整闭整环且\(B\)是整环，对于\(A\)的素理想列\(p_1 \supset p_2 \supset \dots \supset p_n\)和\(B\)的素理想列\(q_1 \supset q_2 \supset \dots \supset q_m (m < n)\)，如果其中每个\(q_i\)卧于\(p_i\)上，那么\(B\)的素理想列可扩充为\(q_1 \supset q_2 \supset \dots \supset q_n\)。

GD中“\(A\)是整闭整环且\(B\)是整环”的条件不能省略，例如\(B = \mathbb{R}[x,y]\)是\(A = \mathbb{R}[x(x - 1), x^2(x - 1), y]\)的整扩张，但显然\(A\)不是整闭的。我们考虑\(A\)的素理想列

\[p_1 = (x(x - 1), x^2(x - 1), y) \supset p_2 = (y - x)\cap A \]

和\(B\)的素理想\(q_1 = (x - 1, y)\)。我们发现\(q_1 \bigcap A = p_1\)，也即\(q_1\)卧于\(p_1\)上。现在我们假设存在\(B\)的素理想\(q_2 \supset q_1\)满足\(q_2 \bigcap A = p_2\)。

由于\(B = \mathbb{R}[x,y]\)是主理想整环，因此\(q_2\)是由不可约多项式\(f\)生成的主理想，并且由\(q_2 \subset q_1 = (x - 1, y)\)我们知道\(f(1, 0) = 0\)。根据LO有\((f) \bigcap A = (y - x)\cap A\)。由于\(x(x - 1)(y - x) \in (y - x)\cap A\)，因此\(x(x - 1)(y - x) \in (f)\)，所以\(f | x(x - 1)(y - x)\)。唯一满足\(f(1,0) = 0\)的是\(f = x - 1\)，然而\((x - 1) \bigcap A = (y - x)\cap A\)显然不成立。