交换代数笔记7

戴德金整环
前一章研究了\(\dim D = 0\)的诺特环即阿廷环。本章研究一种\(\dim D = 1\)的诺特环：戴德金整环，它是主理想整环(PID)概念的夸张。戴德金整环被定义为满足\(\dim D = 1\)的诺特整闭整环。我们知道诺特环上的理想都有准素分解，而戴德金整环的理想不仅有唯一的准素分解，还唯一的分解称素理想之积。

赋值环
设\(K\)是域，\(K\)上的赋值是\(K^*\)到有序群\(\Gamma\)的满射\(v\)，满足

\[v(xy) = v(x) + v(y) \]

\[v(x + y) \geq \min(v(x), v(y)), 当v(x)\neq v(y)时取等号 \]

我们发现所有\(v(a) \geq 0\)的元素\(a\)组成一个整环\(D\)，称为\(K\)上的赋值环。赋值环还有另一种等价定义：整环\(D\)中任取\(x\neq 0 \in K\)，要么\(x \in D\)，要么\(x^{-1} \in D\)。
如果我们取\(\Gamma = \mathbb{Z}\)，则称\(D\)为离散赋值环。离散赋值环等价于戴德金局部环。例如：

1. \(\mathbb{Q}\)是离散赋值环，我们可以这样构造一个赋值：取\(x\in \mathbb{Q}^*\)以及素数\(p\)，我们可以唯一写出\(x = p^a y\)，其中\(y\)的分子分母都与\(p\)互素，我们发现\(v_p(x) = a\)就是一个赋值。
2. \(\mathbb{C}[x, y]\)是离散赋值环，我们可以这样构造一个赋值：对任意\(f(x, y) \in \mathbb{C}[x, y]^*\)，在\(x = 0\)处对\(f(x, e^x)\)进行洛朗展开\(f(x, e^x) = c_n x^n + c_{n+1}x^{n+1}+ \cdots\)，其中\(c_n \neq 0\)，我们发现\(v(f) = n\)就是一个赋值。

分式理想
设\(A\)为整环，\(A\)的分式理想是\(A\)的分式域\(K\)的非零有限生成的\(A\)子模，如果这个子模由\(K\)的单个元素生成，就称其为主分式理想（注意这里的生成元属于\(K\)而非\(A\)，否则就与理想没区别了）。对于分式理想\(I\)，当存在分式理想\(J\)使得\(IJ = A\)时，则称\(I\)时可逆的。所有可逆分式理想全体\(D(A)\)关于积形成一个交换群，单位元为\(A\)，\(I\in D(A)\)的逆元由\(I^{-1} = \{a\in K| aI \subset A\}\)给出。当\(A\)是戴德金环时，我们有：

1. \(A\)的任意分式理想\(I\)都可逆。
2. \(A\)的任意分式理想\(I\)都可分解为\(\prod P^i\)，其中\(P\subset A\)为素理想。

映射\(K^* \to D(A)：a\to (a)\)是一个群同态，其核为\(A^*\)，其余核\(\text{Cl}(A) = \{分式理想\}/\{主分式理想\}\)称为理想类群。A为PID等价于\(\text{Cl}(A) = 0\)。

我们看一些例题：

1. 戴德金整环的分式环要么是戴德金整环、要么是域。
   我们知道整闭整环的分式环是整闭整环，诺特环的分式环是诺特环。我们唯一需要证明的是\(\dim S^{-1}A \leq 1\)。设\(A\)的最长素理想链是\((0) \subsetneq p\)，根据分式环的性质\(S^{-1}A\)最长素理想链不会超过\((0) \subsetneq S^{-1}p\)。

2. 一个非域的赋值环是诺特环当且仅当它是离散赋值环。
   必要性显然。充分性：我们知道赋值环是局部环又是整闭整环，我们只需证明\(\dim A \leq 1\)。我们知道\(A\)的任何两个理想\(a, b\)，要么\(a \subset b\)要么\(b \subset a\)，并且由于是诺特环，\(A\)的理想是有限生成的，因此\(A\)有唯一的理想链\((0)\subset (p) \subset (m)\)。
   我们取\(a\)满足\(am = p\)，因此要么\(m \in (p)\)要么\(a \in (p)\)，如果是前者那么\((m) = (p)\)，如果是后者我们可以再取\(b\)满足\(bp = a\)，因此\((1 - bm)p = 0\)，因为\((m)\)不含单位元，\((1 - bm)\neq 0\)，从而\((p) = (0)\)。

3. 设\(A\)是一个非域的局部整环，它的极大理想\(m\)是主理想且\(\bigcap_{n=1}^\infty m^n = 0\)，则\(A\)是离散赋值环。
   令\(A\)的极大理想是\(m = (p)\)则\(\bigcap_{n=1}^\infty (p^n) = 0\)，因此任取\(x\neq 0 \in A\)必定存在\(x \not \in (p^k)\)，令\(v(x) = \min\{k | x \not \in (p^k)\}\)，我们证明\(v(x)\)是赋值。
   首先，我们知道存在\(a \in (p^{v(x)}), b \in (p^{v(y)})\)满足\(xy = ap^{v(x)}bp^{v(y)} = abp^{v(x)v(y)} \Rightarrow v(xy) = v(x)v(y)\)
   其次，当\(v(x) = v(y)\)时，对于任意\(i < v(x) = v(y)\)，\(x \in p^{(i)} \wedge y \in p^{(i)} \Rightarrow x + y \in p^{(i)}\)，因此\(v(x + y) \geq v(x) = v(y)\)
   最后，当\(v(x) > v(y) = j\)时，\(x \in p^{(j)} \wedge y \not \in p^{(j)} \Rightarrow x + y \not \in p^{(j)}\)，因此\(v(x + y) \geq v(y)\)。
   综上，\(A\)是离散赋值环。

4. 戴德金整环每个理想至多由2个元素生成。
   任取戴德金整环\(A\)的主理想\((a)\)，我们证明\(A/(a)\)是主理想整环。设\((a)\)可以分解成素理想的乘积\((a) = \prod p_i^{n_i}\)，因而其商环也满足\(A/(a) \cong \prod A/p_i^{n_i}\)。再考虑商环\(A/(a)\)中的每个理想\(b\)，对于每个\(i\)都满足\(b = p_i^{n_i} + b_i\)。根据中国剩余定理，\(b\)是主理想，\(A = (a, b)\)。