交换代数笔记4

准素分解
把复杂的理想分解成简单理想之交是研究环结构的一种方法。例如，对于整数环的理想\(n\mathbb{Z}\)，如果\(n\)是不同素数的乘积，那么我们就可以分解成素理想的交

\[30\mathbb{Z} = 2\mathbb{Z}\cap 3\mathbb{Z}\cap 5\mathbb{Z} \]

但\(n\)也可以是素数幂的乘积，这种情况下素理想就不够用了。因此，我们提出了准素理想，也即“素数幂”的理想。

\[素理想：x, y \in p \Rightarrow 要么 x\in p 要么 y\in p \]

\[准素理想：x, y \in q \Rightarrow 要么 x^n\in q 要么 y^n\in q对于某个 n > 0 \]

准素理想和商环也有对应性质：

\[m是极大理想\Leftrightarrow A/m是域 \]

\[p是素理想\Leftrightarrow A/p是整环 \]

\[q是准素理想\Leftrightarrow A/q的零因子都是幂零元 \]

如此以来理想分解可以推广到所有诺特环上。

1. 多项式环\(\mathbb{Z}[t]\)的理想\(m = (2, t)\)是极大的，理想\(q = (4, t)\)是\(m\)准素的，但不是\(m\)的幂。
   易验证\(\mathbb{Z}[t]/m \cong \mathbb{Z}/(2)\)是域，\(\mathbb{Z}[t]/q\cong \mathbb{Z}/(4)\)有一个零因子\(2\)且\(2^2 \equiv 0 \mod 4\)。但\(m^2 = (4, 2t, t^2)\neq q\)，所以\(q\)不是\(m\)的幂。

2. 设\(k\)是域，多项式环\(A = k[x_1,\dots, x_n]\)的理想\(p_i = (x_1,\dots,x_i)(1 \leq i \leq n)\)都是素理想，他们的幂都是准素理想。
   \(A/p_i\cong k[x_{i+1}, \dots, x_n]\)是整环，因此\(p\)是素理想。
   我们再考虑\(A/p_i^m\)。设两个多项式满足

\[fg = \sum_i a_ix_i^{k_i} 其中\sum_i k_i = m \]

则\(f\)必定是齐次多项式，\(f^m \in p_i^m\)。

3. 若环\(A\)的每个理想都有准素分解，则每个分式环\(S^{-1}A\)有同样的性质。
   我们知道分式环环\(S^{-1}A\)的每个理想都是某个分式理想\(S^{-1}a\)的扩张，我们设\(a\)的准素分解为

\[a = \cap q_i \]

\[S^{-1}a = \cap S^{-1}q_i \]

而我们知道\(S^{-1}q_i\)要么是准素理想，要么是\(S^{-1}A\)。我们从分解中去除等于\(S^{-1}A\)的理想即得证。