图形学（1）简单三维变换

缩放

。。。

平移

。。。

旋转

绕坐标轴的旋转矩阵

记 \(R_x(\alpha)\) 为绕 \(x\) 轴顺时针旋转 \(\alpha\)，以此类推。

\[\begin{align*} & \mathbf R_x(\alpha)= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & \cos\alpha & -\sin\alpha & 0\\ 0 & \sin\alpha & \cos\alpha & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\\ & \mathbf R_y(\alpha)= \begin{bmatrix} \cos\alpha & 0 & \sin\alpha & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ -\sin\alpha & 0 & \cos\alpha & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\\ & \mathbf R_z(\alpha)= \begin{bmatrix} \cos\alpha & -\sin\alpha & 0 & 0\\ \sin\alpha & \cos\alpha & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \end{align*} \]

罗德里格旋转公式（Rodrigues' Rotation Formula）

\[\mathbf R(\mathbf n,\alpha)=\cos\alpha\mathbf I+(1-cos\alpha)\mathbf{nn^\top}+sin\alpha\begin{bmatrix} 0 & -n_z & n_y\\ n_z & 0 & -n_x\\ -n_y & n_x & 0 \end{bmatrix} \]

证明

咕咕咕