求点到直线、平面的距离

点到直线的距离

对于一条直线，可以被写作 \(Ax+By+C =0\)。

我们设要求的点 \(Q\) 为 \((x_0,y_0)\)。

这里用一个自认为最妙的做法计算，感觉比向量更简单。

设直线上一点 \(P\) 为 \((x,y)\)，那么 \({|PQ|}^2 = (x_0 - x)^2 + (y_0 - y)^2\)

由柯西不等式可以得到：

\(((x_0 - x)^2 + (y_0 - y)^2) (A^2 + B^2) \ge (A(x_0 - x) + B(y_0 - y))^2\)

\(|PQ| \sqrt {A^2 + B^2} = A(x_0 - x) + B(y_0 - y) = A x_0 + B y_0 - A x - B y\)

由于 \(C = - A x - B y\)，所以

\(|PQ| \sqrt {A^2 + B^2} = A x_0 + B y_0 + C\)

\(|PQ| = \frac{A x_0 + B y_0 + C}{\sqrt {A^2 + B^2}}\)

点到平面的距离

也是类似的做法，最后答案为 \(\frac{A x_0 + B y_0 + C z_0 +D}{\sqrt {A^2 + B^2 + C^2}}\)。