01 2024 档案
摘要：特别典型的一道端点效应与放缩找点 已知\(f(x)=m(x-1)^2-2x+2\ln x,m>2\) (1)证明：函数\(f(x)\)存在单调递减区间，并求出该函数单调递减区间\((a,b)\)的长度\(b-a\)的取值范围 (2)当\(x\geq 1\)时，\(f(x)\leq 2xe^{x-1}
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摘要：估值问题要放缩 设函数\(f(x)=\sin x-x\cos x,g(x)=\left(1+\dfrac{x^2}{2}\right)\cos x\) (1) 当\(x\in[0,\pi]\)时，证明:\(f(x)\geq 0\) (2) 当\(x\in[-\pi,\pi]\)时，求\(g(x)\)
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摘要：切线问题 已知\(f(x)=\dfrac{2}{x}+\ln x\)的图像在\(x=4\)处的切线为\(y=l(x)\) (1) 求\(f(x)\)的解析式 (2) 若过点\((a,b)(a<4)\)可作\(f(x)\) 图像的三条切线，证明：\(l(a)<b<f(a)\) (1) \(f(4)=2
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摘要：类似于23新高考一道题，分析出界限 已知函数\(f(x)=\dfrac{x}{e^x},g(x)=\dfrac{\ln x}{x}\)，证明：存在直线\(y=b\)，其与两条曲线\(y=f(x),g=g(x)\)共有三个不同的交点，并且从左到右三个交点的横坐标成等比数列 解. 先说明\(b\)的存在
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摘要：不一样的比值代换 已知函数\(f(x)=\dfrac{(x+1)\ln x+a+1}{x}\)，函数\(f(x)\)有两个极值点 (1) 求\(a\)的取值范围 (2) 若函数\(f(x)\)的两个极值点为\(x_1,x_2(x_1<x_2)\)且\(3x_1\geq x_2\)，求\(\ln x_
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摘要：估值问题 已知函数\(f(x)=(x+1)\ln x-ax+a\) \((1)\) 若\(a=2\)，判断\(f(x)\)的单调性 \((2)\) 若\(x>1,f(x)>0\)恒成立 (i)求\(a\)的取值范围 (ii)设\(a_n=\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+2}+\
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摘要：出得比较臭的题 若函数\(f(x)\)在定义域内存在两个不同的数\(x_1,x_2\)满足\(f(x_1)=f(x_2)\)且\(f(x)\)在点\(\left(x_1,f(x_1)\right),(x_2,f(x_2))\)处的切线相同，则称\(f(x)\)是切合函数 \((1)\) 证明:\(f
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摘要：类偏移问题 已知函数\(f(x)=(x-1)e^x+ax^2\) \((1)\) 讨论\(f(x)\)的单调性 \((2)\) 当\(a<-1\)时，若\(f(x)\)的极小值点为\(x_0\)，证明:\(f(x)\)的存在唯一的零点\(x_1\)，且\(x_1-x_0\geq \ln 2\) \(
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摘要：  ![i
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摘要：简单的找点问题 已知函数\(f(x)=ax^3+2\sin x-x\cos x\) \((1)\) 若\(a=-\dfrac{1}{2},x\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)\)，证明:\(f(x)\geq 0\) \((2)\)探究\(f(x)\)在\((-\pi,\
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摘要：找点问题，第一次尝试着不用极限去做 已知函数\(f(x)=\ln x+\dfrac{1}{x}-1\) \((1)\) 求\(f(x)\)的最小值 \((2)\) 若\(g(x)=x^2[f(x)+1-a]-x+a\)，求\(g(x)\)的零点个数 解 \((1)\) \(f^{\prime}(x)
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摘要：高考数学里的微分学思想 已知函数\(f(x)=e^x-ax^3-x-2\) \((1)\)当\(a=0\)，求\(f(x)\)的单调区间与极值 \((2)\) 若\(a\leq \dfrac{1}{6}\)，证明:当\(x_1,x_2\in[0,+\infty)\)，且\(x_1>x_2\)时，\(
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摘要：一道典型但又很难想到思路的双变量问题 已知函数\(f(x)=\ln x-ax-\dfrac{1}{x}\) \((1)\) 讨论函数\(f(x)\)的单调性 \((2)\) 函数\(f(x)\)有两个零点\(x_1,x_2(x_1<x_2)\)，证明:\(x_1x_2>2e^2\) 解 \((1)\
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摘要：保号性辅助临界点分析 已知函数\(f(x)=x\ln x+a(x^3-x)\) \((1)\) 讨论\(\dfrac{f(x)}{x}\)的单调性 \((2)\) 已知\(g(x)=2x-e^{x-1}-1\)，若\(f(x)\geq g(x)\)恒成立，求\(a\)的值. 解 \((1)\) 记\
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摘要：找点问题着重于分析图形的走势 已知函数\(f(x)=e^x-ax\sin x-x-1\) \((1)\) \(a=0\)时，证明：\(f(x)\geq 0\)恒成立 \((2)\) 若函数\(f(x)\)在\((0,\pi)\)上只有唯一的零点，求\(a\)的取值范围. 解 \((1)\) 经典的切
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摘要：找点问题 已知函数\(f(x)=\sin2x-\ln(1+x),f^{\prime}(x)\)是\(f(x)\)的导数 \((1)\) 证明；\(f^{\prime}(x)\)在区间\(\left(-1,\dfrac{\pi}{4}\right)\)上存在唯一的极大值点; \((2)\) 讨论\(f
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摘要：分析不等式 设函数\(f(x)=\dfrac{1}{2}ax^2+\cos x-1\) \((1)\) 当\(a\geq 1\)时，证明:\(f(x)\geq 0\) \((2)\) 证明:\(\dfrac{1}{\tan 1}+\dfrac{1}{2\tan\dfrac{1}{2}}+\dfrac
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摘要：常用的两个放缩应用，结构很明显 已知函数\(f(x)=\sin x\) \((1)\) 设\(F(x)=f(x)-mx,\)若\(F(x)\leq 0\)在\([0,+\infty)\)上恒成立，求实数\(m\)的取值范围 \((2)\) 设\(G(x)=\dfrac{2}{3}f(x)+x-\df
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摘要：切点弦与阿基米德三角形 已知\(F\)是抛物线\(C:x^2=4y\)与椭圆\(\dfrac{y^2}{a^2}+\dfrac{x^2}{b^2}=1(a>b>1)\)的的公共焦点，椭圆上的点\(M\)到点\(F\)的距离的最大值为\(3\) \((1)\) 求椭圆的方程 \((2)\) 过点\(M
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摘要：简单的非对称问题 已知点\(F_1(-1,0),F_2(1,0)\)，动点\(M\)满足\(|MF_1|+|MF_2|=4\)，动点\(M\)的轨迹记为\(E\) \((1)\) 求\(E\)方程 \((2)\) 若不垂直于\(x\)轴的直线\(l\)过点\(F_2,\)与\(E\)交于\(C,D\
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摘要：数学分析味道很浓的一道题，可以当作找点问题的典型. 已知函数\(f(x)=e^x-ax^2-\cos x-\ln(x+1)\) \((1)\) 若\(a=1\)，求证：\(f(x)\)的图像与\(x\)轴相切与原点 \((2)\) 若函数\(f(x)\)在区间\((-1,0),(0,+\infty)
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摘要：计算有技巧，却难在因式分解 已知椭圆\(C:\dfrac{x^2}{8}+\dfrac{y^2}{4}=1\)，过点\((1,0)\)的直线与\(C\)相交于\(A,B\)两点，过点\(C\)上的点\(P\)作\(x\)轴的平行线交线段\(AB\)于点\(Q\)，直线\(OP\)的斜率为\(k^{\
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摘要：明显的一道同构处理，韦达定理 抛物线\(E:x^2=2py(p>0),M:x^2+(y-2p)^2=1,F\)是抛物线的焦点，过点\(F\)作圆\(M\)的切线，切线长为\(2\) \((1)\) 求抛物线\(E\)的方程 \((2)\) 已知\(A,B,C\)是抛物线\(E\)上三点，\(A\)不
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摘要：遇到的最难的一个找点问题 已知函数\(f(x)=\ln x+\dfrac{a-x^2}{2x}\) \((1)\) 讨论函数\(f(x)\)的单调性 \((2)\)若关于\(x\)的方程\(f(x)=a\)有两个实数解，求\(a\)的最大整数解. \((1)\) \(f(x)=\ln x-\dfra
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摘要：定点问题转化为斜率和、积问题 已知椭圆\(C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)\)的离心率为\(\dfrac{1}{2}\)，且点\(\left(1,-\dfrac{3}{2}\right)\)在椭圆上. \((1)\)求椭圆\(C\)的标准方程
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摘要：切线放缩辅助分析 设\(f(x)=ax-(a+1)\ln x-\dfrac{1}{x},a>0\) \((1)\) 讨论\(f(x)\)的单调性 \((2)\) 设\(g(x)=x^2e^{2x}-f(x)\)，若关于\(x\)的不等式\(g(x)\geq ax+(a+3)\ln x+\dfrac{
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摘要：隐藏的斜率和问题 已知双曲线\(C\)为\(\dfrac{x^2}{2}-y^2=1\)，直线\(l\)交\(C\)于\(P,Q\)两点.若直线\(AP,AQ\)与\(y\)轴分别相交于\(M,N\)两点，且\(\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}=\ove
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摘要：同构问题，越复杂越有思路 已知函数\(f(x)=(\ln x-2x+a)\ln x\) \((1)\) 当\(a=2\)求\(f(x)\)的单调性 \((2)\) 若\(f(x)\leq \dfrac{e^x}{x}-x^2+ax-a\)，求实数\(a\)取值范围. \((1)\) \(a=2,f(
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摘要：非对称韦达定理 已知椭圆\(E\)的左焦点为\((-2\sqrt{2},0)\)，长轴长为\(8\) \((1)\) 求椭圆\(E\)的标准方程 \((2)\) 记\(E\)的左右定点分别为\(A,B\),过点\(C(2,0)\)的直线\(l\)与\(E\)交于\(M,N\)两点(\(M,N\)均不
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摘要：\(\ln x<x-1\)放缩应用 已知函数\(f(x)=mx-\ln x-1\) \((1)\) 讨论函数的单调性 \((2)\) 若不等式\(e^{x-1}+a\ln x-(a+1)x+a\geq 0\)恒成立，求\(a\)的取值范围 解 \((1)\) \(f^{\prime}(x)=m-\d
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摘要：向量转换 对于椭圆\(\dfrac{y^2}{a^2}+\dfrac{x^2}{b^2}=1(a>b>0)\)，我们称双曲线\(\dfrac{y^2}{a^2}-\dfrac{x^2}{b^2}=1\)为其伴随双曲线.已知椭圆\(C:\dfrac{y^2}{3}+\dfrac{x^2}{b^2}=1
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摘要：\(\ln x<\dfrac{1}{2}\left(x-\dfrac{1}{x}\right),\ln x>\dfrac{1}{2}\left(x-\dfrac{1}{x}\right)\)放缩 已知函数\(f(x)=e^{\frac{1}{x}-a}+\ln x-a\)有两个零点\(x_1,x_2
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摘要：简单的零点分析 已知\(f(x)=ae^x-\sin x-1\) \((1)\) 当\(a=1\)证明：\(\forall x\in[0,+\infty),f(x)\geq 0\) \((2)\) 若\(f(x)\)在区间\(\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)\)上存在极值，
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摘要：经典\(e^2-1\)应用 已知椭圆\(M:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)\)的左右顶点为\(A\)、\(B\)，\(P\)是椭圆上异于\(A\)、\(B\)的动点，满足\(k_{PB}\cdot k_{PB}=-\dfrac{1}{4}\)，当
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摘要：同构处理 过点\(P\)做\(x\)轴的垂线，垂足为\(E\)，且该垂线与抛物线\(x^2=-4y\)交与点\(F\),\(|PE|^2+|EF|=1\)，记动点\(P\)的轨迹为\(C\) \((1)\) 求出\(C\)的轨迹方程 \((2)\) 圆\(Q\)是以点\(Q(1,0)\)为圆心，\(
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摘要：隐藏的极值点偏移 已知函数\(f(x)=\dfrac{1}{2}x^2-x-a\ln(x+1)\) \((1)\)讨论函数\(f(x)\)的单调性 \((2)\)当\(a>0\)时，若\(m\)为函数的正零点，证明：\(m>2\sqrt{a+1}\) 解 \((1)\)由题得\(x>-1\) \(f
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