李群和李代数1

常用的矩阵李群及其李代数

所有矩阵均定义在\(\mathbb{C}\)上。其中，

\[g = \begin{bmatrix} I & 0\\ 0 & -I \end{bmatrix}\qquad \Omega = \begin{bmatrix} 0 & I\\ -I & 0 \end{bmatrix}\]

名称	定义	紧致性	连通性	李代数
一般线性群\(\text{GL}(n)\)	\(n\times n\)的可逆矩阵	否	连通	\(\text{gl}(n)\):所有\(n\times n\)的矩阵
特殊线性群\(\text{SL}(n)\)	秩为1的\(n\times n\)可逆矩阵	否	单连通	\(\text{sl}(n)\):所有迹为0的\(n\times n\)矩阵
酉群\(\text{U}(n)\)	酉矩阵：满足\(A^*A = I\)的\(n\times n\)可逆矩阵\(A\)	是	连通	\(\text{u}(n)\):所有满足\(X^* = -X\)的矩阵
特殊酉群\(\text{SU}(n)\)	秩为1的\(n\times n\)酉矩阵	是	单连通	\(\text{su}(n)\):所有满足\(X^* = -X\)且迹为0的矩阵
正交群\(\text{O}(n)\)	正交矩阵：满足\(A^\top A = I\)的\(n\times n\)可逆矩阵\(A\)	否	不连通	\(\text{o}(n)\):所有满足\(X^\top = -X\)的矩阵
广义正交群\(\text{O}(n,k)\)	满足\(A^\top g A = g\)的\(n\times n\)正交矩阵	否	不连通	\(\text{o}(n,k)\):所有满足\(g X^\top g = -X\)的矩阵
特殊正交群\(\text{SO}(n)\)	秩为1的\(n\times n\)正交矩阵	否	连通	\(\text{so}(n)\):所有满足\(X^\top = -X\)且迹为0的矩阵
辛群\(\text{Sp}(n)\)	辛矩阵：满足\(A^\top \Omega A = \Omega\)的\(n\times n\)可逆矩阵\(A\)	否	连通	\(\text{sp}(n,\mathbb{C})\):所有满足\(\Omega X^\top \Omega = X\)的矩阵
紧致辛群\(\text{USp}(n)\)	既是酉矩阵又是辛矩阵的\(n\times n\)可逆矩阵\(A\)	是	单连通	\(\text{sp}(n)\):所有满足\(\Omega X^\top \Omega = X\)以及\(X^* = -X\)的矩阵
欧几里得群\(\text{E}(n)\)	形如\(\begin{bmatrix} R & x\\0 & 1 \end{bmatrix}\)的矩阵，其中\(x\in\mathbb{R}^n, R\in O(n)\)	否	不连通	形如\(\begin{bmatrix} 0 & 0\\x & B \end{bmatrix}\)的矩阵，其中\(x\in\mathbb{R}^n, B\in o(n)\)
庞加莱群\(\text{P}(n,k)\)	形如\(\begin{bmatrix} A & x\\0 & 1 \end{bmatrix}\)的矩阵，其中\(x\in\mathbb{R}^n, A\in O(n, k)\)	否	不连通	形如\(\begin{bmatrix} 0 & 0\\x & B \end{bmatrix}\)的矩阵，其中\(x\in\mathbb{R}^n, B\in o(n,k)\)
海森堡群	形如\(\begin{bmatrix}1 & a & b\\ 0 & 1 & c\\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}\)的矩阵	否	连通	形如\(\begin{bmatrix}0 & a & b\\ 0 & 0 & c\\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix}\)的矩阵

矩阵的指数与对数
类似于函数的泰勒展开，\(n\times n\)的矩阵\(X\)的指数和对数分别定义为

\[\exp(X) = \sum_{m=0}^\infty \frac{X^m}{m!} \]

\[\log(X) = \sum_{m=1}^\infty(-1)^{m+1}\frac{(A-I)^m}{m} \]

如果一个\(n\times n\)的矩阵\(X\)满足存在\(k\)使得\(X^k = 0\)，那么就称\(X\)为幂零矩阵；如果\(X-I\)是幂零矩阵，那么就称\(X\)为幂幺矩阵。显然，

• 如果\(X\)是幂零矩阵，则\(\exp(X)\)是幂幺矩阵且\(\log(\exp(X)) = X\)
• 如果\(X\)是幂幺矩阵，则\(\log(X)\)是幂零矩阵且\(\exp(\log(X)) = X\)
  而一般情况下，这两个等式不一定成立。

任意一个\(A\in \text{GL}(n;\mathbb{C})\)都可以写成\(A = \exp(X)\)。
证明：由于\(A\)可逆，所以\(A\)与\(\lambda(I+N_\lambda)\)相似，其中\(\lambda \neq 0\)且\(I+N_\lambda\)是幂幺矩阵。因此，

\[A = C^{-1}\lambda(I+N_\lambda)C = C^{-1}\lambda\exp(\log(I+N_\lambda))C = \exp(\log(\lambda)I+ C^{-1}\log(I+N_\lambda)C) \]

因此，我们可以令\(X = \log(\lambda)I+ C^{-1}\log(I+N_\lambda)C\)即得到结论。

我们更关心一般线性群与特殊线性群的极坐标展开：

• \(A\in \text{GL}(n;\mathbb{C})\)可以展开成\(A = U \exp(X)\)，其中\(U \in U(n;\mathbb{C})\)且\(X\)是自伴矩阵。
• \(A\in \text{GL}(n;\mathbb{R})\)可以展开成\(A = R \exp(X)\)，其中\(R \in O(n;\mathbb{R})\)且\(X\)是实对称矩阵。
• \(A\in \text{SL}(n;\mathbb{C})\)可以展开成\(A = U \exp(X)\)，其中\(R \in SO(n;\mathbb{C})\)且\(X\)是迹为0的自伴矩阵。
• \(A\in \text{SL}(n;\mathbb{R})\)可以展开成\(A = R \exp(X)\)，其中\(R \in SO(n;\mathbb{R})\)且\(X\)是迹为0的实对称矩阵。

可解李代数与幂零李代数
对于一个李代数\(\mathfrak{g}\)，我们定义：

• 它的导出列为\(\mathfrak{g}^{(0)} = \mathfrak{g}, \mathfrak{g}^{(1)} = [\mathfrak{g}^{(0)}, \mathfrak{g}^{(0)}], \mathfrak{g}^{(2)} = [\mathfrak{g}^{(1)}, \mathfrak{g}^{(1)}], \cdots\)
• 它的下降中心列为\(\mathfrak{g}_0 = \mathfrak{g}, \mathfrak{g}_1 = [\mathfrak{g}, \mathfrak{g}_0], \mathfrak{g}_2 = [\mathfrak{g}, \mathfrak{g}_1], \cdots\)
• 它的上升中心列为\(\mathfrak{g}^0 = 0, \mathfrak{g}^{i+1} = \{x\in \mathfrak{g} \mid y\in \mathfrak{g}且 [x, y] \in \mathfrak{g}^{i} \}, \cdots\)

如果一个李代数\(\mathfrak{g}\)的导出列在有限长度达到\(0\)，则称其为可解李代数；如果一个李代数的下降中心列在有限长度达到\(0\)，或者它的上式中心列在有限长度达到\(\mathfrak{g}\)，则称其为幂零李代数。

我们发现从\(j=1\)开始\(\mathfrak{g}^{(j)} \subset \mathfrak{g}_j\)，因此幂零李代数一定是可解的。反之不成立，形如

\[\begin{bmatrix}a & b\\ 0 & c\end{bmatrix} \]

的李代数是可解的但不是幂零的。

指数映射
我们发现矩阵指数\(X \to \exp(X)\)构成了从李代数到李群的映射\(\exp:\mathfrak{g}\to G\)。这个映射并不是一个双射，比如我们无法找到\(X\)使得

\[\exp(X) = \begin{bmatrix}-1 & 1\\ 0 & -1\end{bmatrix} \]

但如果我们把映射限制在单位矩阵附近，指数映射又满足双射的性质：

• 对于指数映射\(\exp:\mathfrak{g}\to G\)，存在\(\epsilon > 0\)，令\(U_\epsilon = \{X\mid \|X\| < \epsilon\}\)以及\(V_\epsilon = \exp(U_\epsilon)\)，满足：对于任意\(A\in V_\epsilon\)，我们有\(A \in G \Longleftrightarrow \log(A) \in \mathfrak{g}\)

从这个局部双射的性质，我们发现：李代数其实就是李群在幺元的切空间！

• 令\(G\subset \text{GL}(n)\)是李群，\(\mathfrak{g} \subset \text{gl}(n)\)是对应的李代数。则\(X\in \text{gl}(n)\)当且仅当存在光滑曲线\(\gamma(t)\in G\)满足\(\gamma(0) = 0\)且\(\gamma'(0) = X\)。