《算术教程》笔记2

p进数
对于一个素数，我们令\(A_n = Z/p^nZ\)，可以构造如下的反向极限\(\lim_{\leftarrow} A_n\)

\[\to A_n \to \cdots \to A_2 \to A_1 \]

其中\(\phi_n: A_n \to A_{n-1}\)是模\(p^{n-1}\)的满射。

反向极限中的每个元素就是所谓的p进整数\(Z_p\)。如同整数\(Z\)的分式域是有理数\(Q\)，p进整数\(Z_p\)的分式域就是p进数\(Q_p\)。

那么可不可以像有理数构造实数那样，再通过\(Q_p\)构造"p进实数"呢？其实是没有必要的，因为\(Q_p\)本身就已经是完备的了。要证明\(Q_p\)的完备性，我们首先要定义\(Q_p\)上的度量：任取\(x = p^n u\in Q_p\)，其中\(u\in U\)是\(Z_p\)中的不可逆元，称为p进单位。而

\[v_p(x) = n, v_p(0) = \infty \]

称为\(x\)的p进赋值。这样一来，我们定义两点\(x,y\in Q_p\)之间的距离为

\[d_p(x, y) = p^{-v_p(x-y)} \]

通过这个度量，我们发现\(x\)的邻域是一个闭球

\[B_r(x) = \{y\mid d_p(x, y) < r\} = \{y\mid d_p(x, y) < p^{-v}\} = B_{p^{-v}}[x] \]

其中\(v\)是满足\(p^{-v} < r\)的最小整数。因此\(Q_p\)是局部紧的，从而是完备的。

p进数的牛顿法
对于\(R\)上的函数\(f\)，我们通常用牛顿法来逼近其零点：

\[x_{n+1} \leftarrow x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} \]

那么对于\(Q_p\)上的多项式\(f\)，是否有类似的方法呢？我们发现，如果\(x_n\in Q_p\)满足

\[f(x_{n}) = 0 (\mod p^{n}) \]

\[k = v_p(f'(x_{n})) \]

那么我们可以找出\(x_{n+1}\in Q_p\)满足

\[f(x_{n+1}) = 0 (\mod p^{n+1}) \]

\[k = v_p(f'(x_{n+1})) \]

\[x_{n+1} = x_n (\mod p^{n-k}) \]

这与牛顿法是类似的。

p进数的乘法结构
如果我们考虑有理数的乘法生成元，就得到了有理数的乘法群

\[Q^* \cong Z_2 \times \oplus_p Z \]

那么p进数的乘法结构是怎样的？我们有以下结论：

\[Q_p^* \cong \begin{cases} Z \times Z_p \times Z/(p-1)Z & p \neq 2\\ Z \times Z_2 \times Z/2Z & p = 2 \end{cases}\]

我们令\(U_n = 1 + p^nZ_p\)要证明这个结论，我们首先注意到任意p进数可以写成\(p^nu\)，也即\(Q_p^* \cong Z\times U\)。我们再考虑短正合列

\[1\to U_1/U_n \to U/U_n \to F_p^* \to 1 \]

根据分裂引理，我们得到

\[U/U_n \cong U_1/U_n \oplus F_p^* \]

考虑极限\(U \cong \lim_{\leftarrow} U/U_n\)，从而

\[U \cong U_1 \times F_p^* \]

这样一来\(Q_p \cong Z\times U_1 \times Z/(p-1)Z\)，因而我们只要研究\(U_1\)的乘法结构，就可以得到\(Q_p\)的结构。

当\(p=2\)时，任取\(\alpha \in U_2 - U_3\)（即\(\alpha = 5 \mod 8\)）通过归纳法我们可以证明\(\alpha ^{2^n}\in U_{n+2} - U_{n+3}\)（注意：若取\(\beta \in U_1 - U_2\)则\(\beta^2 \not \in U_2 - U_3\)），从而\(U_2 /U_n\)是\(2^{n-2}\)阶循环群，\(\alpha\)是生成元，我们可以构造同构

\[\theta_n : Z/2^{n-2}Z \to U_2 /U_n, z \to \alpha^z \]

通过反向极限我们得到\(U_2 \cong Z_2\)，另一方面\(U_1/U_2 \cong Z/2Z\)，所以\(U_1 = Z_2 \times Z/2Z\)。

当\(p\neq 2\)时，任取\(\alpha \in U_1 - U_2\)（如\(\alpha = 1 + p\)），通过归纳法我们可以证明\(\alpha ^{p^n}\in U_{n+1} - U_{n+2}\)，从而\(U_1 /U_n\)是\(p^{n-1}\)阶循环群，\(\alpha\)是生成元，因此有同构

\[\theta_n : Z/p^{n-1}Z \to U_1 /U_n, z \to \alpha^z \]

通过反向极限我们得到\(U_1 \cong Z_p\)。