《算术教程》笔记3

希尔伯特符号
希尔伯特符号常用于类域论中。对于域\(Q_v\)，\(v\)为素数或无穷（令\(Q_\infty = R\)），它的定义如下：

\[(a, b)_v = \begin{cases} 1 & 如果ax^2 + by^2 = 1在Q_v^*上有解\\ -1 & 如果ax^2 + by^2 = 1在Q_v^*上无解 \end{cases}\]

一个等价的说法是\((a,b) = 1\)当且仅当\(b\)为域扩张\(Q_v[\sqrt{a}]/Q_v\)中某个元素的范数。换句话说，存在\(\alpha + \beta \sqrt{a} \in Q_v[\sqrt{a}]\)满足\(b= N(\alpha + \beta \sqrt{a}) = \alpha^2 - \beta^2 a\)。这样一来，

• 当\(\alpha \neq 0\)时，\(x = \beta/\alpha, y = 1/\alpha\)是\(ax^2 + by^2 = 1\)的解
• 当\(\alpha = 0\)时，\(x = (1 + 1/a)/2, y = (1-1/a)/2\beta\)是\(ax^2 + by^2 = 1\)的解。

希尔伯特符号有以下性质：

\[(a, b) = (b, a) \]

\[(a, c^2) = 1 \]

\[(a, -a) = 1 \]

\[(a, 1-a) = 1 \]

\[(a, b_1b_2) = (a, b_1)(a, b_2) \]

希尔伯特符号的计算公式
\(R\)上的希尔伯特符号比较简单，有

\[(a,b)_\infty = \begin{cases} 1 & a > 0或b > 0\\ -1 & a < 0且b < 0 \end{cases}\]

要讨论\(Q_p\)上的希尔伯特符号，我们先定义两个函数

\[\epsilon(x) = \frac{x-1}{2}(\mod 2) \]

\[\omega(x) = \frac{x^2-1}{8}(\mod 2) \]

则\(a = p^\alpha u, b = p^\beta v\)的希尔伯特符号计算如下：

\[(a,b)_p = \begin{cases} (-1)^{\epsilon(u)\epsilon(v) + \alpha\omega(u)+\beta\omega(v)} & p = 2\\ (-1)^{\alpha\beta \epsilon(p)}\left(\frac{u}{p}\right)^\beta\left(\frac{v}{p}\right)^\alpha &p\neq 2 \end{cases}\]

希尔伯特符号的积
作为计算公式的一个应用，我们令\(V\)为所有的素数以及无穷组成的集合，则

\[\prod_{v\in V}(a, b)_v = 1 \]

换句话说，满足\((a, b)_v = -1\)的\(v\)如果有限必定是偶数个。

根据上文中希尔伯特符号的性质，我们只需用希尔伯特符号的计算公式计算\(a,b\)是\(-1\)或是不同素数的情形。令\(p, q\)是奇素数，

• \(a = -1, b = -1\)：这个情况下\((-1, -1)_2 = (-1, -1)_\infty = -1\)，而其他情况\((-1, -1)_p = 1\)
• \(a = -1, b = 2\)：这个情况下\((-1, 2)_v = 1\)
• \(a = -1, b = p\)：这个情况下，如果\(v\neq 2以及p\)，我们有\((-1, p)_v = 1\)；否则

\[(-1, p)_2 = (-1, p)_p = (-1)^{\epsilon(p)} \]

• \(a = 2, b = p\)：这个情况下，如果\(v\neq 2以及p\)，我们有\((2, p)_v = 1\)；否则

\[(2, p)_2 = (-1)^{\epsilon(p)} \]

\[(2, p)_p = \left(\frac{2}{p}\right) = (-1)^{\omega(p)} \]

• \(a = p \neq b = q\)：这个情况下，如果\(v\neq 2以及p,q\)，我们有\((p, q)_v = 1\)；否则

\[(p,q)_2 = (-1)^{\epsilon(p)\epsilon(q)} \]

\[(p,q)_p = \left(\frac{q}{p}\right)，(p,q)_q = \left(\frac{p}{q}\right) \]

由二次互反律

\[\left(\frac{q}{p}\right) \left(\frac{p}{q}\right) = (-1)^{\epsilon(p)\epsilon(q)} \]

得到积必定为\(1\)。