《算术教程》笔记5

幺模格
如果一个秩为n的自由阿贝尔群\(E\)上定义了一个对称的双线性形式\((x, y) \to x.y\)，则称\(E\)为格。格中任意元素\(a\in E\)的范数定义为\(a.a\)。如果我们把\(E\)看作\(\mathbb{Z}\)上的模，那么范数就是\(E\)上的二次型。如果\(E\)中任何元素的范数都是偶数，则称\(E\)是偶的，否则就称\(E\)是奇的。

类似于二次型，我们也可以用矩阵\(A_{ij} = e_i.e_j\)表示格，矩阵表示的行列式称为格的行列式d(E)。一个行列式为\(\pm 1\)的格称为幺模格。此外，对于两个格\(E, E'\)，我们可以定义直和：

\[(x \oplus x').(y \oplus y') = x.y \oplus x'.y' \]

这个直和与二次型的直和是一致，有别于格的张量积\(E \otimes E'\)。

不变量
格中的一个元素\(u\in E\)如果满足\(u.x = x.x(\mod 2)\)对所有\(x\in E\)都成立，那么称\(u\)为正则元。幺模格中总是存在正则元：我们考虑\(\bar{E} = E/2E\)是\(\mathbb{F}_2\)上秩为\(r(E)\)的线性空间，它的对偶空间是\(\bar{E}^*\)。\(x.y\)是非退化的二次型（因为\(d(\bar{E}) = 1\)），因此\(f: v \to (x \to x.v)\)是\(\bar{E} \to \bar{E}^*\)的同构。而\(Q(\bar{x}) = x.x\)是线性映射，这是因为

\[(\bar{x} + \bar{y}).(\bar{x} + \bar{y}) = \bar{x}.\bar{x} + 2\bar{x}.\bar{y} + \bar{y}.\bar{y} = \bar{x}.\bar{x} + \bar{y}.\bar{y} \]

也即\(Q\in \bar{E}^*\)。根据同构存在\(f(u) = Q\)。

正则元不一定唯一，任意两个正则元\(u, v\)满足\(\bar{u}.\bar{x} - \bar{v}.\bar{x} = (\bar{u}-\bar{v}).\bar{x} = 0\)说明\(\bar{u} = \bar{v}\)。然后，我们通过\((u+2x).(u+2x) = u.u + 4(u.x + x.x) = u.u (\mod 8)\)发现\(u.u( \mod 8)\)是唯一的。我们定义

\[\sigma(E) = u.u (\mod 8) \]

称其为\(\sigma\)不变量。

格是一个\(\mathbb{Z}\)模，我们可以通过把格嵌入我们熟悉的空间中构造不变量。例如，通过\(V = E \otimes \mathbb{R}\)把\(E\)嵌入到\(\mathbb{R}\)向量空间中，我们就可以称\(V\)的指数为\(E\)的指数\(\tau(E)\)。如果\(r(E) = \tau(E)\)，就称\(E\)是正定的；如果\(r(E) = -\tau(E)\)，就称\(E\)是负定的；否则就称\(E\)是不定。如果\(E\)是幺模格，我们很容易找出秩、行列式和指数的关系：

\[d(E) = (-1)^{(r(E) - \tau(E))/2} \]

再比如，通过\(V_p = E \otimes \mathbb{Q}_p\)把\(E\)嵌入\(\mathbb{Q}_p\)中，我们可以定义\(\epsilon_p\)不变量\(\epsilon_p(E) = \epsilon_p(V_p)\)。如果\(E\)是幺模格，我们也可以找出秩、行列式和不变量之间的关系：

\[\epsilon_p(E) = \begin{cases} 1 & p \neq 2\\ (-1)^{(d(E) + r(E) - \sigma(E) - 1)/4} & p = 2 \end{cases}\]

对于幺模格\(E\)，我们可以证明性质

\[\sigma(E) = \tau(E) \mod 8 \]

这条性质也告诉我们，偶的幺模格指数为\(0\)。

例子与分类
我们先来看3个简单的幺模格：

\[I_+: x.y = xy\qquad I_-: x.y = xy\qquad U: x.y = x_2y_1 + x_1y_2 \]

其中，\(I_+, I_-\)是\(\mathbb{Z}\)上的幺模格，\(U\)是\(\mathbb{Z}^2\)上的幺模格。它们的不变量如下：

\[r(I_+) = 1, \tau(I_+) = 1, d(I_+) = 1, \sigma(I_+) = 1 \]

\[r(I_-) = 1, \tau(I_-) = -1, d(I_-) = -1, \sigma(I_-) = -1 \]

\[r(U) = 2, \tau(U) = 0, d(U) = -1, \sigma(U) = 0 \]

我们再来看一个比较复杂的幺模格

\[\Gamma_8 = \{(x_1,\dots, x_8)\mid 2x_i \in \mathbb{Z}, x_i-x_j \in \mathbb{Z}, \sum_{i=1}^8 x_i \in 2\mathbb{Z}\} \]

设\(e_1, \dots, e_8\)是\(\mathbb{Q}_8\)的基，则\(\Gamma_8\)的一组基为

\[2e_1, e_2 - e_1, e_3 - e_2,e_4 - e_3, e_5 - e_4, e_6 - e_5,e_7 - e_6, \frac{1}{2}\sum_{i=1}^8 e_i \]

容易验证任意两个基的内积是整数，因此\(\Gamma_8\)是格。通过这组基，我们计算\(\Gamma_8\)的不变量

\[r(\Gamma_8) = 8, \tau(\Gamma_8) = 8, d(\Gamma_8) = 1, \sigma(\Gamma_8) = 0 \]

因此，\(\Gamma_8\)是偶的正定幺模格。由于\(\Gamma_8\)恰巧是单李群\(E_8\)的根系，因此也被称为\(E_8\)格。

不定幺模格都由这4种幺模格的直和构成。奇的不定幺模格\(E_{odd} \cong sI_+ \oplus tI_-\)（s个\(I_+\)与t个\(I_-\)的直和），偶的不定幺模格\(E_{even} \cong pU \oplus q\Gamma_8\)。显然，如果秩、指数、奇偶性确定，不定幺模格在同构意义下是唯一的。

对于正定（负定）的幺模格，情况就复杂多了。我们可以使用Smith–Minkowski–Siegel公式推算秩为n的正定（负定）幺模格的结构，但由于太过复杂，这项工作仅在\(n \leq 25\)完成。

K群
我们知道直和在同构意义下满足交换律和结合律。考虑可加范畴\(\mathcal{S}\)，则\((\mathcal{S}, \oplus)\)构成一个交换的幺半群。我们可以进一步构造交换群\(K(\mathcal{S})\)：\(K(\mathcal{S})\)中由\(\mathcal{S}\)中对象的“差”\((E, F)\)构成，\((E, F) = (E', F')\)当且仅当存在\(G\in \mathcal{S}\)满足

\[E \oplus F' \oplus G \cong E' \oplus F \oplus G \]

这样一来，\(K(\mathcal{S})\)中的每个元素都有逆元\(-(E, F) = (F, E)\)。这样构造的交换群\(K(\mathcal{S})\)称为格罗滕迪克K群。

对于一个从可加范畴到交换群的函子\(f: \mathcal{S} \to A\)总有

\[f(E_1 \oplus E_2) = f(E_1) + f(E_2) \]

那么我们可以将\(f\)推广成群同态\(K(\mathcal{S})\to A\)，即对于\(x = (E, F) \in K(\mathcal{S})\)

\[f(E, F) = f(E) - F(F) \]

与\(E, F\)的选取无关。

幺模格的K群是以\(I_+, I_-\)为基的自由阿贝尔群，幺模格的不变量\(r: \mathcal{S} \to \mathbb{Z}\)，\(\tau:\mathcal{S} \to \mathbb{Z}\)，\(\sigma:\mathcal{S} \to \mathbb{Z}/8\mathbb{Z}\)，\(d:\mathcal{S} \to \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\)都是可加函子，因为

\[r(E_1 \oplus E_2) = r(E_1) + r(E_2), d(E_1 \oplus E_2) = d(E_1)d(E_2) \]

\[\tau(E_1 \oplus E_2) = \tau(E_1) + \tau(E_2) \]

\[\sigma(E_1 \oplus E_2) = \sigma(E_1) + \sigma(E_2)\mod 8 \]

所以它们也都是自由阿贝尔群\((I_+, I_-)\)上的群同态。