《算术教程》笔记7

模函数、模形式、尖点形式
令\(q = \exp(2\pi i z)\)，我们考虑以下形式的函数

\[f(z) = \sum_{n=m}^\infty c(n)q^n \]

并且满足权重条件

\[f\left(\frac{az+b}{cz+d}\right) = (cz+d)^{k}f(z), k \in \mathbb{N} \]

如果\(f\)是亚纯函数且\(m > -\infty\)，则称\(f\)为权重为\(k\)的模函数。
如果\(f\)是全纯函数且\(m \geq 0\)，则称\(f\)为权重为\(k\)的模形式。
如果\(f\)是全纯函数且\(m > 0\)，则称\(f\)为权重为\(k\)的尖点形式。

权重条件有几个的等价定义。第一个等价条件是

\[f(z + 1) = f(z) \qquad f(-1/z) = z^{k}f(z), k \in \mathbb{N} \]

其次，我们也可以用\(\mathbb{C}\)上的格来定义权重条件。令格\(\Gamma(\omega_1, \omega_2)\)满足\(\text{Im}(\omega_1/\omega_2) > 0\)，而\(F\)是从\(\Gamma\)到复数\(z\)的函数，则权重条件是

\[F(\lambda\Gamma) = \lambda^{-k}F(\Gamma), k \in \mathbb{N} \]

取\(\lambda = 1/\omega_2, z = \omega_1/\omega_2\)，就可以写成

\[F(\lambda\omega_1, \lambda\omega_2) = \lambda^{-k}F(\omega_1, \omega_2) \]

\[F(\omega_1, \omega_2) = \omega_2^{-k}F(\omega_1/\omega_2, 1) = \omega_2^{-k}f(z) \]

由\(F\)在\(\mathbf{SL}_2(\mathbb{Z})\)下的不变性，也即

\[F(a\omega_1 + b\omega_2, c\omega_1 + d\omega_2) = F(\omega_1, \omega_2) \]

\[f\left(\frac{az+b}{cz+d}\right) = (cz + d)^{-k}f(z) \]

此外，我们有重要的Hecke定理：对于权重为\(2k\)的尖点形式\(f(z) = \sum_{n=1}^\infty a_nq^n\)，总是有\(a_n = O(n^k)\)当\(n\to \infty\)。

这个定理的证明如下：令\(\phi(z) = |f(z)|y^k, y = \text{Im}(z)\)，容易验证\(\phi\)是有界的，即

\[|f(z)| \leq M y^{-k} \]

则根据围绕原点的圆\(C_y\)的留数定理

\[a_n = \frac{1}{2\pi i}\int_{C_y}f(z)q^{-n-1}dq = \int_0^1 f(x+iy)q^ndx \]

因此，取\(y = 1/n\)就得到

\[|a_n| \leq My^{-k}\exp(2\pi ny) = \exp(2\pi)Mn^k = O(n^k) \]

Eisenstein级数
模形式最重要的例子是Eisenstein级数

\[G_k(\Gamma) = \sum_{\gamma\neq 0 \in \Gamma} \frac{1}{\gamma^{k}}, k > 2 \]

或者可以写成

\[G_k(z) = \sum_{(m,n)\neq (0,0)} \frac{1}{(mz+n)^{k}}, k > 2 \]

这是权重为\(k\)的模形式。

我们令\(M_k\)是权重为\(2k\)的模形式组成的空间，它是\(\mathbb{C}\)上的线性空间，它的基为\(G_2^\alpha G_3^\beta, 2\alpha + 3\beta = k\)，因而

\[\dim M_k = \begin{cases} [k/6] & k = 1 \mod 6\\ [k/6] + 1 & k \neq 1 \mod 6 \end{cases}\]

模判别式
我们令\(g_2 = 60G_4, g_3 = 140G_6\)，考虑Weierstrass椭圆函数

\[y^2 = 4x^3 - g_2x - g_3 \]

它的判别式是

\[\Delta = g_2^3 - 27 g_3^2 \]

这个判别式是权重为12的尖点形式，称为模判别式。如果\(\Delta \neq 0\)，则称其为\(\mathbb{C}\)上的椭圆曲线。模判别式也可以写成

\[\Delta = (2\pi)^{12} q\prod_{n=1}^\infty (1-q^n)^{24} \]

其在\(q = 0\)处的洛朗展开系数\(\tau(n)\)满足

\[q\prod_{n=1}^\infty (1-q^n)^{24} = \sum_{n=1}^\infty \tau(n)q^n \]

称\(\tau(n)\)为拉马努金函数。拉马努金函数有以下一些性质

\[\tau(n) = O(n^6) \]

\[\tau(nm) = \tau(n)\tau(m) \]

\[\tau(p^{n+1}) = \tau(p)\tau(p^n) - p^{11}(p^{n-1}) \]

一个著名的猜想是\(\tau(n) \neq 1\)当\(n \geq 1\)。

j不变量
我们称

\[j = 1728g_2^3/\Delta \]

为j不变量，这是一个权重为\(0\)的模函数。为什么选择1728这个数字呢？因为这使得j在\(q=0\)的留数恰好是1，即

\[j(z) = \frac{1}{q} + 744 + \sum_{n=1}^\infty c(n)q^n, q=exp(2\pi iz) \]

其中

\[c(n)\sim \frac{\exp(4\pi\sqrt{n})}{\sqrt{2}n^{3/4}} \]

我们还可以证明，任意权重为\(0\)的模函数都是j不变量的有理函数。

令\(f\)为权重为0的模函数（阶小于0）。由于\(\Delta\)是尖点形式（阶大于0），存在\(n\geq 0\)使\(g = \Delta^n f\)是模形式。由于\(g\)的权重是\(12n\)，因此它是\(G_2^\alpha G_3^\beta, 2\alpha + 3\beta = 6n\) 的线性组合。我们考虑单个\(g' = G_2^\alpha G_3^\beta\)也即\(f' = G_2^\alpha G_3^\beta/ \Delta^n\)。由于\(2\alpha + 3\beta = 6n\)，因此\(p = \alpha/2, q = \beta/3\)是整数，则

\[f' = \left(\frac{G_2^3}{\Delta}\right)^p \left(\frac{G_3^2}{\Delta}\right)^q \]

而\(G_2^3/\Delta, G_3^2/\Delta\)都是\(j\)的有理函数，因此得证。