李群和李代数2

李群和李代数的有限表示

令\(G\)是一个矩阵李群，它的一个有限表示是形如\(\Pi: G \to \text{GL}(V)\)的映射，其中\(V\)为有限维实/复线性空间；类似的，若\(\mathfrak{g}\)是一个矩阵李群，它的一个有限表示是形如\(\pi: G \to \text{gl}(V)\)的映射，其中\(V\)为有限维实/复线性空间。如果\(\Pi\)或\(\pi\)是一个双射，就称其为忠实表示。

我们往往把李群的有限表示看作\(V\)上的线性作用。如果\(A\in G, v\in V\)，那么\(A\cdot v = \Pi(A)v\)。

由此，我们来定义两个表示的同构：令\(\Pi: G \to \text{GL}(V)\)和\(\Sigma: G \to \text{GL}(W)\)是两个表示。如果一个线性映射\(\phi: V\to W\)满足对于所有的\(A\in G, v\in V\)都有

\[\phi (\Pi(A) v) = \Sigma(A) \phi(v) \]

则称\(\phi\)为交结映射。如果交结映射可逆，则两个表示同构。同构的时候，交接映射就可以写成

\[\phi(A\cdot v) = A\cdot \phi(v) \]

我们还可以通过小的表示来构造大的表示。如果\(\Pi_i: G \to \text{GL}(V_i)\)是一组表示，则

\[[\Pi_1 \oplus \Pi_2 \oplus \dots \oplus \Pi_m(A)](v_1, v_2, \dots, v_m) = (\Pi_1(A)v_1, \Pi_2(A)v_2, \dots, \Pi_m(A)v_m) \]

也是\(G\)的表示，称为\(\Pi_i\)的直和。

令\(\Pi_1: G \to \text{GL}(U)\)和\(\Pi_2: H \to \text{GL}(V)\)是有限表示。则

\[(\Pi_1 \otimes \Pi_2)(A, B) = \Pi_1(A) \otimes \Pi_2(B) \]

是\(U\otimes V\)上的表示，称为\(\Pi_1, \Pi_2\)的张量积。

表示的可约性
令\(\Pi: G \to \text{GL}(V)\)是\(G\)的有限表示。如果存在线性子空间\(W\subseteq V\)满足任取\(A\in G, w\in W\)都有\(A\dot w \in W\)，则称\(W\)为\(\Pi\)的不变子空间。\(W = \{0\}\)和\(W = V\)是两个平凡的不变子空间。如果一个表示的不变子空间都是平凡的，则称其为不可约表示。如果一个表示与有限个不可约表示的直和同构，则称其为完全可约表示。对于不可约表示，我们也常说\(V\)是不可约表示，而不用说\(\Pi: G \to \text{GL}(V)\)是不可约表示

紧李群和半单李代数的任何有限表示都是完全可约表示，这赋予紧李群和半单李代数非常重要的地位。

舒尔定理

舒尔定理是李群最重要的定理之一，它刻画了不可约表示的交结映射。定理由3个命题组成：

• 如果域\(V\)和\(W\)是不可约表示，\(\phi: V\to W\)是交结映射，则\(\phi = 0\)或者\(\phi\)是同构。
• 如果代数闭域\(V\)是不可约表示，\(\phi: V\to V\)是交结映射，则\(\phi = \lambda I\)，其中\(\lambda \in V\)。
• 如果域\(V\)和\(W\)是不可约表示，\(\phi_1, \phi_2: V\to W\)是2个非零的交结映射，则\(\phi_1 = \lambda \phi_2\)，其中\(\lambda \in V\)。

我们可以很快得到如下推论：交换李群或者交换李代数的代数闭域表示一定是1维的。
证明：设\(G\)是交换李群，\(V\)是代数闭域，\(\Pi: G \to \text{GL}(V)\)是表示。任取\(A,B\in G\)都有

\[\Pi(A)\Pi(B) = \Pi(AB) = \Pi(BA) = \Pi(B)\Pi(A) \]

因此，\(\Pi(A)\)是一个交结映射，从而\(\Pi(A) = \lambda I\)，也即\(V\)是一维的。

非矩阵李群
表示论还可以帮助我们构造非矩阵李群。考虑李群\(G = \mathbb{R}\times \mathbb{R} \times \mathbb{S}^1\)，群上的乘法定义为

\[(x_1, y_1, u_1)\cdot (x_2, y_2, u_2) = (x_1 + x_2, y_1 + y_2, \exp(ix_1y_2)u_1u_2) \]

我们知道海森堡群\(G\)的中心是

\[Z(H) = \left\{ \begin{bmatrix} 1 & 0 & b\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \mid b \in \mathbb{R}\right\}\]

我们构造\(G\)与海森堡群之间的同构\(\Phi: H \to G\)

\[\Phi\begin{bmatrix} 1 & a & b\\ 0 & 1 & c\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = (a, c, \exp(2\pi i b))\]

它的同态核是

\[\ker \Phi = \left\{ \begin{bmatrix} 1 & 0 & n\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \mid n \in \mathbb{Z}\right\}\]

而对\(G\)的任意有限表示\(\Sigma\)，我们都可以构造海森堡群的有限表示\(\Pi = \Sigma \circ \Phi\)。我们知道\(\ker \Phi \subset \ker \Pi\)，我们可以进一步证明\(Z(H)\subset \ker \Pi\)，也即

\[\Pi\begin{bmatrix} 1 & 0 & b\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \Sigma(0, 0, \exp(2\pi i b)) = I\]

也即任意\((0,0,u)\in \ker \Sigma\)，从而\(\Sigma\)不是同构。

通用覆盖
令李群\(G,H\)的李代数分别为\(\mathfrak{g}, \mathfrak{h}\)。我们知道李群同态\(\Phi: G \to H\)对应了唯一的李代数同态\(\phi: \mathfrak{g} \to \mathfrak{h}\)满足\(\Phi(\exp(X)) = \exp(\phi(X))\)。那么反过来，李代数同态\(\phi: \mathfrak{g} \to \mathfrak{h}\)是否也对应了李群同态\(\Phi: G \to H\)满足\(\Phi(\exp(X)) = \exp(\phi(X))\)呢？

如果\(G\)是单连通的，则我们能找到唯一的李群同态\(\Phi: G \to H\)。而在一般情况下，这是不成立的。为了获得更好的同态对应，我们定义如下概念：对于一个李群\(G\)，我们可以找到（同构意义下）唯一的单连通李群\(\tilde{G}\)，满足李群同态\(\Phi: \tilde{G}\to G\)所对应的李代数同态\(\phi: \tilde{\mathfrak{g}} \to \mathfrak{g}\)是同构映射。这个单连通李群称为\(G\)的通用覆盖，\(\Phi\)称为覆盖映射。

作为一个简单的例子，\(\text{SO}(3)\)的通用覆盖是\(\text{SU}(2)\)，它的覆盖映射是\(U \to \Phi_U\)，其中\(\Phi_U = UXU^{-1}\)。

这样一来，对于任意李群\(G,H\)，李代数同态\(\phi: \mathfrak{g} \to \mathfrak{h}\)就对应唯一的李群同态\(\Phi: \tilde{G} \to H\)满足\(\Phi(\exp(X)) = \exp(\phi(X))\)。