《算术教程》笔记4

二次型
令\(V\)是交换环\(K\)上的模，如果函数\(f: V \to K\)满足

1. 对任意\(a\in K, v \in V\)，都有\(f(ax) = a^2 f(x)\)
2. \(f(x+y) - f(x) - f(y)\)是双线性形式。

那么\((V,f)\)就称为\(K\)上的二次型。本章中，我们设\(K\)为特征不为2的域，因此我们可以定义两个向量\(x,y \in V\)的内积为

\[x. y = \frac{1}{2}(f(x+y) -f(x) - f(y)) \]

可以发现\(x. y = y. x\)且\(f(x) = x. x\)（如果特征为2则不成立）。如果\(x. y =0\)则称\(x,y\)正交，与一个集合或元素\(H\)正交的子空间记为\(H^ \perp\)。如果\(V^ \perp = 0\)我们就称\((V, f)\)是非退化二次型。

迷向向量
如果\(x\in V\)满足\(f(x) = 0\)，则称其为迷向向量。我们有以下重要定理：如果\((V,f)\)是\(K\)上包含非零迷向向量的非退化二次型，则\(f(V) = K\)。

我们首先设\(x\neq 0\in V\)是迷向向量，由于\((V,f)\)非退化，因此存在\(z\in V\)满足\(x.z = 1\)。我们构造另一个迷向向量\(y = z - (z.z)x/2\)，可以验证\(y.y = 0且x.y = 1\)。这时候，我们任取\(a\in K\)有

\[Q\left(x+\frac{a}{2} y \right) = \left(x+\frac{a}{2} y \right).\left(x+\frac{a}{2} y \right) = a(x.y) = a \]

因此对任意\(a\in K\)都存在\(f(v) = a\)

等价与不变量
通过内积，我们还可以将二次型写成矩阵形式：令\(A_{ij} = e_i . e_j\)，则\(A\)是对称矩阵且\(f(x) = x^\top A x\)。对于非退化二次型，\(A\)是可逆矩阵。两个二次型\(\psi, \phi\)如果满足\(\phi(x) = \psi(Cx)\)则称\(\phi, \psi\)等价，记为\(\phi \sim \psi\)。显然对于矩阵形式而言，\(A_\phi = C^\top A_\psi C\)。

我们可以通过矩阵形式更方便的研究二次型的性质，我们通常把\(A\)的秩与\(A\)的行列式称为\(f\)的秩r(f)和行列式d(f)。如果我们设\(a_i = e_i.e_i\)，则\(f\)的行列式为

\[d(f) = a_1 \cdots a_n \]

我们也可以用上一章希尔伯特记号来定义\(\epsilon\)不变量:

\[\epsilon_v(f) = \prod_{i < j} (a_i, a_j) \]

可以证明秩、行列式、\(\epsilon\)不变量和基的选取无关，因此在等价意义下是确定的。

二次型的归纳法
令\((V, f)\)和\((V', f')\)是\(K\)上两个二次型，我们定义两个新的二次型\(V \oplus V' \to K\)，称为\(V, V'\)的直和：

\[(f \oplus f')(v, v') = f(v) + f'(v') \]

\[(f \ominus f')(v, v') = f(v) - f'(v') \]

如果存在\(x\neq 0 \in V\)满足\(f(x) = a\)，就称\(f\)表示\(a\)。对于非退化的\(f(x_1, \dots , x_{n})\)，我们有以下3个等价命题：

1. \(f\)表示\(a\)。
2. \(f \sim h \oplus az^2\)，其中\(h\)是秩为\(n-1\)的二次型。
3. \(f \ominus az^2\)表示0。

\(1\Rightarrow 2\): \(f\)表示\(a\)意味着存在\(x.x = a\)。我们把\(V\)写成\(V = x^\perp \oplus kx\)，这样一来\(f \sim H \oplus az^2\)
\(2\Rightarrow 3\): 略。
\(3\Rightarrow 1\): 我们令\((x_1, \cdots, x_n, z)\neq 0\)是\(f \ominus az^2\)的零点。这时候，

• 如果\(z\neq 0\)，那么\(f(x_1/z, \cdots, x_n/z) = a\)
• 如果\(z = 0\)，则\(f\)表示\(0\)，也即\((V, f)\)存在非零的迷向向量，因此可以表示\(K\)中任意元\(a\)。

这个等价命题有助于使用归纳法证明二次型的性质。

实数域的二次型
西尔维斯特惯性定理告诉我们：任何实二次型都等价于

\[x_1^2 + \cdots + x_r^2 - y_1^2 - \cdots - y_s^2 \]

其中\(r\)称为正惯性系数，\(s\)称为复惯性系数。此外，我们还可以定义

\[\tau(f) = r - s \]

称为\(f\)的指数。

通过西尔维斯特惯性定理，我们知道：实二次型等价，当且仅当他们的秩与指数相等。

有限域的二次型
\(\mathbb{F}_q\)上秩为\(n\)的非退化二次型是以下2种形式之一

• \(x_1^2 + \cdots + x_{n-1}^2 + x_n^2\)
• \(x_1^2 + \cdots + x_{n-1}^2 + ax_n^2\)

当\(n=1\)时，显然成立。
当\(n > 1\)时，我们考虑\(G = f \ominus z^2\)，有\(\deg G = 2 < n + 1\)。根据Chevalley-Warning 定理，\(G\)的零点个数整除\(p\)。然而\(G\)已经有\((0,\dots, 0)\)一个零点，因此\(G\)表示\(0\)，也就是说\(f\)表示\(1\)，这样一来\(f \sim f \oplus z^2\)，通过用归纳法得证。

这个定理告诉我们：有限域的二次型等价，当且仅当他们的秩与行列式相等。

p进数域的二次型
对于p进数域\(\mathbb{Q}_p\)，我们有以下重要定理：二次型\((\mathbb{Q}_p, f)\)表示\(a\in \mathbb{Q}_p^*\)的充要条件是

1. 如果\(n=1\)，则\(a = d(f)\)
2. 如果\(n=2\)，则\((a, -d(f))_p = \epsilon_p(f)\)
3. 如果\(n=3\)，则要么\(a\neq d(f)\)，要么\((-1, d)_p = \epsilon_p(f)\)
4. \(n \geq 4\)时恒成立

利用这个定理，我们可以用归纳法证明：p进数域的二次型等价，当且仅当他们的秩、行列式与\(\epsilon_p\)不变量相等。

有理数域的二次型
对于有理数域\(\mathbb{Q}\)，我们有Hasse-Minkowski定理：二次型\((\mathbb{Q}, f)\)表示\(a\in \mathbb{Q}^*\)的充要条件是，对所有\(v\)（素数或者无穷）都有\((\mathbb{Q}_v, f)\)表示\(a\)。

利用这个定理，我们可以用归纳法证明：有理数域的二次型等价，当且仅当他们的秩、行列式与任意\(\epsilon_v\)不变量（\(v\)为素数或者无穷）相等。