万物皆数

摘要： 1. 反常积分 1.1 反常积分的定义 定积分是定义在闭区间\([a,b]\)上的有界函数上，这里对积分的概念作一点推广。考察积分\(\int_{1}^{A}\dfrac{1}{x^2}\,\text{d}x=1-\dfrac{1}{A}\)，当\(A\to+\infty\)时，积分有极限\(1\) 阅读全文

摘要： 1. 一致收敛函数 1.1 函数项级数 前面讨论了数列的极限和级数，它们都是对单点的逼近，现在我们把这些讨论扩展到函数对象。设\(u_1(x),u_2(x),\cdots\)是同一定义域上的函数序列，则式（1）左被称为函数项级数，式（1）右是它的部分和函数。如果\(S_n(x)\)处处收敛于\(S( 阅读全文

摘要： 1. 级数 1.1 级数的定义 现在从增量的角度重新讨论数列的极限，而这也是极限在许多实际问题中的呈现形式。对于数列\(S_n\)，设\(a_n=S_n-S_{n-1}\)，则有\(S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n\)。为讨论\(S_n\)的敛散性，定义式（1）的加式为级数，\(a_n\ 阅读全文

摘要： 1. 微分的应用 1.1 一元函数的微分 1.1.1 单调性、极值、渐近线 导数给出了函数的走向，它对我们分析函数的图形性质很有作用，这里就用微分学的知识来了解函数的性质。一阶导数对函数的影响是最直接的，这里先看一阶导数。对于区间上的常值函数\(f(x)=C\)，它的导数处处为零，反之由中值定理知， 阅读全文

摘要： 1. 二重积分 1.1 定义和性质 一元定积分的概念可以推广到空间中，不同的是曲线\(y=f(x)\)换成了曲面\(z=f(x,y)\)，曲面在\(xy\)平面上的投影\(D\)即为定义域。为求得曲面和\(D\)之间柱体\(\Omega\)的体积，可以将\(D\)划分为若干区域\(D_1,D_2,\ 阅读全文

摘要： 1. 多元函数 1.1 欧几里得空间 很多函数的自变量不止一个，现在就来讨论这种函数的性质，多元函数可以记作\(f(x_1,\cdots,x_n)\)。如果只是独立地讨论函数与每个变量的关系，大可不必给出新的概念，我们需要把所有自变量当成一个“数”看待，并研究这种函数的分析特性。对于这种数，我们还需 阅读全文

摘要： 1. 不定积分 1.1 原函数和不定积分 前面的微分学讨论了导数对函数局部值的影响，现在开始就来看看整体的导函数能确定怎样的函数？换句话说，已知导函数的情况下，能否确定函数本身。对于不是处处有定义的导函数，为了简单起见，可以把它拆分成多个区间讨论。为此，对于区间\(I\)上处处有定义的导函数\(f( 阅读全文

摘要： 1. 微分的概念 1.1 一阶微分 导数表现出两个小变量\(\varDelta y,\varDelta x\)之间近似的线性关系（式（1）），这个关系启发了我们，可以为“无穷小量”建立一个度量模型。但这里说的“无穷小量”并不是一个孤立的量，它具有一种“动态”，且和自变的“无穷小量”有线性关系。无穷小 阅读全文

摘要： 1. 连续函数 1.1 连续和间断 实数的完备性是分析学的基础，它自然也是微积分的出发点。极限是实数完备性的具体描述，我们的微积分之旅也从这里开始。在《实数系统》中，我们已经讨论了实数的完备性和极限的概念，这里把极限的概念引入到函数中。在集合论中，函数被看成是集合间的映射，当在集合中引入极限的概念后 阅读全文

摘要： 【本系列目录】 01 - 数学的屠龙刀 02 - 连续和导数 03 - 一元微分 04 - 一元积分 05 - 多元微分 06 - 重积分 07 - 微积分的应用 08 - 数项级数 09 - 函数项级数 10 - 广义积分 博客总目录 说到微积分，所有人都不陌生，上过大学的人基本都被它上过，每学期 阅读全文