万物皆数

摘要： 线性变换是线性代数的核心概念，包含的内容和结论十分丰富。之前的讨论其实已经比较完备了，但这里我还是想把它的主要脉络再梳理一遍，然后再补充一些重要的问题和结论。 1. 线性变换和不变子空间 1.1 线性变换 线性变换\(\mathscr{A}\alpha\)（或线性映射）的概念自无需多说，它是线性空间 阅读全文

摘要： 1. 多项式环 1.1 基本定义和性质 多项式是数学中的重要概念，在分析和代数中都有广泛的应用，线性变换也非常依赖多项式的理论。虽然在不同场景下多项式描述的对象有较大差异，但它们却有着类似的代数结构，这里就从纯代数的角度讨论多项式的结构和性质。以下我会花较多口舌定义什么是多项式，这种看似“学究”的做 阅读全文

摘要： 线性函数也是线性代数的重点知识，尤其是双线性函数，本质上定义了向量之间的二元运算。然后在非退化线性替换下，引出了矩阵的合同关系\(B=P'AP\)（记作\(A\cong B\)），类似于线性变换的标准型讨论，这里同样需要讨论合同关系下的等价类和标准型。对称双线性函数是最常见的向量运算，它的度量矩阵是 阅读全文

摘要： 矩阵本质的意义在于线性变换，可以说离开线性变换，矩阵是毫无用处的。而线性变换的基本运算就是加法和乘法，其中对矩阵乘法的研究一直是线性代数中的核心内容。其中包括矩阵的幂次方、矩阵的逆、矩阵的分解，而且它们是互相渗透的。虽然说研究矩阵乘法的目的是线性变换，但乘法本身的性质可以脱离线性变换而讨论，我们将再 阅读全文

摘要： 【本系列目录】 01 - 行列式和矩阵的秩 02 - 矩阵的逆和相似矩阵 03 - 二次型和矩阵的分解 04 - 多项式环 05 - 线性变换 06 - 线性函数 博客总目录 高等代数究竟应该包含哪些内容？从名字上看它应当包含代数学中的所有高等内容。但一般来讲，这里的“高等”只是相对中学的“初等”而 阅读全文

摘要： 1. 连续有理系统 1.1 系统函数 很多物理模型的系统都可以表示为式（1）的线性常微分方程，它显然是一个LIT系统。后面将会看到，这样的系统实现简单，却可以满足复杂的需求。需要注意的是，从系统角度，\(x(t),y(t)\)分别是输入、输出；但从方程角度，这里\(t\)是变量，\(x(t)\)为确 阅读全文

摘要： 本篇将举三个重要的理论或领域，以展示之前信号理论的应用和意义。其中滤波理论和通信系统是非常大的应用领域，这里仅对基础的概念和方法做个介绍，以作入门之用。 1. 滤波系统 1.1 滤波器 在系统函数的性质中，我们看到信号在时域上的微分、积分、卷积等复杂运算，在频域都变成了代数运算。这说明分析和使用信号 阅读全文

摘要： 1. 离散时间傅里叶变换 1.1 离散LIT系统 前面三篇专注于讨论连续信号，建立了比较完备的连续LIT系统的理论。在工业应用、尤其是计算机科学中，数据、信号都是数字化的，信号在时间上甚至数值上都是离散的。离散时间的信号（简称离散信号），可能原本就是离散的（比如统计数据），也有可能是连续信号的采样值 阅读全文

摘要： 1. 系统函数的性质 1.1 变换的对偶性 不管是傅里叶变换的频域还是拉普拉斯变换的\(s\)域（下面统称\(s\)域），都是深入讨论LIT系统的有力工具，有时甚至是必备工具。\(s\)域的系统函数和时域的信号（单位冲激响应）是一对共生体，它们通过拉普拉斯变换生成彼此，同时也是连接两个域的纽带。对一 阅读全文

摘要： 1. 傅里叶级数 1.1 特征函数 上篇我们已经知道，LIT系统可以由单位冲激响应\(h(t)\)完全表征，且\(x(t)\)在系统的输出函数是\(x(t)*h(t)\)。这个结论是分析LIT系统的基础理论，甚至我们可以认为，LIT系统至此已经被完全解析了。但不要忘记，解析信号系统的目的，最终是为了 阅读全文