万物皆数

摘要： 1. 有限有界积分 1.1 积分及存在性 有了前两篇的铺垫，现在可以顺理成章地定义积分的概念了。和Riemann积分一样，定义要分成两步，先是在有限定义域的有界函数上，然后使用极限法推广到一般函数上。具体来说，设\(E\)是某测度空间的有限可测集（\(\mu(E)<\infty\)），\(f(x)\ 阅读全文

摘要： 上篇在\(\sigma\)-环上延拓了测度的概念，并讨论了实数轴上典型的可测集\(\mathbf{L},\mathbf{L^g},\mathbf{B}\)。这些理论精巧而有其独立性，但还需放到合适的领域里才能展现其本质和威力。\(\sigma\)-环是个普遍的代数结构，它的可列交并运算特别适用于需要 阅读全文

摘要： 1. 测度和\(\sigma\)-环 在上一篇我感受到，对复杂集合的描述都是很困难的事，更不好定义一个清晰普遍的测度。正确的思路应该是，从可以定义测度的简单集开始，合理地向外扩展，直至包含足够丰富的集。这样即满足了复杂性要求，也同时兼容了简单集的测度。所谓简单集，就比如实数集上的区间，区间长（测度） 阅读全文

摘要： 【本系列目录】 01 - 更合理的积分 02 - 测度论基础 03 - 可测函数 04 - 基于测度的积分 05 - 积分极限和乘积测度 06 - 导数与单调函数 07 - 微积分基本定理 08 - 广义测度和积分 博客总目录 1. 源起 在整理博客之初，我打算从数学最基础的学科开始，逐渐往上建立完 阅读全文

摘要： 上一篇讨论的非阿基米德几何，其本质上已经与欧几里得几何没有太大差别，平面几何的大部分结论也都可以得证。本篇我们试图再度简化公理系统，并以此研究特定公理对平面几何性质的影响。试想，如果我们只讨论平面上的点线关系，公理\(I_{1\sim 2},II,IV\)似乎已经足够，因为\(I_{3\sim 6} 阅读全文

摘要： 希尔伯特的五组几何公理，描述了一个与欧几里得空间等价的几何空间，然而这套公理的价值远非如此。它的目的更在于分离出几何空间中最本质的内涵，对其精简分类，以突出每一个内涵的价值。所以到此为止，几何系统的讨论非但没有结束，而是才刚刚开始。在前几篇的定理讨论中，我们明确了这样一个事实：每个定理的成立都有其依 阅读全文

摘要： 1. 合同公理 1.1 线段和角的合同 关联定义了三大主角（点线面）的依附关系，顺序又限定了点在空间的次序（并间接影响线面的空间次序），现在还缺少对空间的度量。所谓度量就是对几何对象建立相等的概念，而相等的另一个等价说法就是教材上的“迁移”，“重合、相等”这样的概念本质上就是对象的动态关系，这样的关 阅读全文

摘要： 1. 顺序公理 关联公理仅讨论了对象的连接属性，但这些对象目前仍然是一种无序的状态（集合状态）。为了体现对象的空间性，需要定义一种顺序关系，使得对象更有“方向性”和“位置感”。几何中的“位置”看起来有很多种，比如直线的两个方向、平面的两面、圆形（球形）的内外等，但令人惊讶的是，这些关系居然都可以从直 阅读全文

摘要： 【本系列目录】 01 - 几何的公理系统 02 - 顺序公理 03 - 合同公理、平行公理、连续公理 04 - 比例和面积 05 - 笛沙格几何 博客总目录 1. 历史背景 前面我们已经整理了代数和分析的基础知识，其中让我收获最大的，便是利用公理化思想给出模型的基本元素，然后逐步讨论模型中的基本问题 阅读全文

摘要： 在线性代数中，我们花了3篇讲解（双）线性函数的相关结论。这里我想把核心内容再阐述一遍，在忽略一些细节的同时，希望对整体结构有更深刻的理解。需要注意的是，这里双线性函数只是起点，后面的内积、酉变换、正规变换，都在不断地打破和拓展之前的概念，最终还是为了讨论特殊线性变换的标准型。 1. 双线性函数 1. 阅读全文