万物皆数

摘要： 随机变量的分布函数包含了它的全部信息，随之我们就需要对随机变量进行一些定量分析，即通过相对简单的数值来度量随机变量的某些特征。有些特征对于随机变量来说比较基本、比较重要，比如平均值、分散程度等，本篇就集中讨论这些特征。 1. 数学期望 1.1 期望的定义 随机变量可取到一些实数值，对其最常用的一种度 阅读全文

摘要： 1. 常见分布 这里讨论几个常见的概率分布，而它们之间存在着紧密的关联。很多复杂的概率模型其实有着更简单的底层原理，这种联系再次验证了随机现象的确定性方面。看似复杂随机现象其实就是由许多“原子事件”组合而成，数学的规律仍然起着支配作用。 1.1 伯努利试验 最简单且有意义的事件域是\(\mathsc 阅读全文

摘要： 概率空间是事先给定的，其中样本空间是定义的基础，事件及其概率是我们讨论的对象。那么面对一个给定的概率空间，我们要讨论一些什么问题呢？事件与概率是绑定在一起的，故应把注意力放在事件域上，本篇从两个角度考察事件概率：条件概率和随机变量，它们是概率论中非常基础的概念。 1. 条件概率 1. 1 定义和性质 阅读全文

摘要： 【本系列目录】 01 - 不确定中的确定性 02 - 条件概率和随机变量 03 - 常见分布和问题举例 04 - 数字特征 05 - 极限定理和正态分布 博客总目录 经过漫长的预热，终于要开始看概率论了，心里还是比较开心的。本着把数学应用到计算机工业中的初心，将大学数学的基本学科梳理了一遍，收获却是 阅读全文

摘要： 【本系列目录】 01 - 关于“摆放”的科学 02 - Möbius反演公式 03 - 母函数和递推关系 04 - 基本计数问题 05 - 经典计数方法 06 - 组合设计 博客总目录 在中学大家都学过《排列组合》，计算机系的在大学里还学过《离散数学》。不同于主流数学中的研究对象（连续变量），它们主 阅读全文

摘要： 计数问题其实只是组合数学中的一小部分，以上也仅仅介绍了比较经典的结论。组合问题复杂多变，它们之间也少有联系，所以把组合数学称作一门学科并不准确。组合难题也会出现在各种益智趣题或竞赛难题中，随随便便就会出现一些未解的难题，所以我们也将止步于此。在结束本课之前，我决定再窥探一下组合问题中的一大类：组合设 阅读全文

摘要： 1. 基本计数的母函数 现在来用母函数来求解基本计数问题，母函数既可以完成自动计数，还能表示计数本身，像Stirling数这种就只能用母函数表示。自动计数适用于可以分步的计数问题，并且目标值是每步值之和，这与多项式的运算性质有关。 1.1 组合数和分划数 直观上最符合这一特点的就是模型2，从\(n\ 阅读全文

摘要： 1. 基本计数 1.1 统一模型 本篇来讨论几个基本的计数问题，这些问题虽然都有各自的模型，但本质上却有着内在的联系，因此我们先建立一个统一的模型。现在有元素集\(E,F\)，它们的元素都有内在的结构，建立映射\(E\to F\)，问题是这样的映射有多少个？满射和单射有多少个？ 所谓有内在的结构，就 阅读全文

摘要： 1. 母函数 1.1 母函数的定义 计数问题的结果一般可以表示为自然数集上的函数\(f(n)\)，比如组合数\(\binom{n}{k}\)可以看成是关于\(k\)的函数。孤立的通项公式很难发现数值之间的内在联系，从而丢失了结果的整体性。本节介绍一下欧拉提出的母函数思想，它是计数问题的一个基本工具。 阅读全文

摘要： 计数问题种类繁多，为了避免陷入漫无目的烧脑运动，我们先需要关注一些常用方法和结论。数学的抽象性和通用性是我们一直推崇的，从诸多特殊问题中发现一般性的方法，也总会让人兴奋和慨叹。一般教材多是以排列组合开篇，采用了一些技巧性很强的初等方法来讨论组合计数，我倒觉得可以直接先掌握一些锋利的工具，到时再看那些 阅读全文