万物皆数

摘要： 这里是个人的学习笔记，主要目标是数学和算法。内容比较紧凑，仅供学习交流使用，并无意展开为详细教程。 因为有大量的数学公式，建议使用Chrome浏览器，公式上右键可设置放大的方法（比如单击放大）。 希望结识天下数学友人和算法达人，我的微信号：edward_bian，手机：13862578725，邮箱：bahzll@163.com。 阅读全文

摘要： 1. 顺序公理 到目前为止，射影几何都是在一般域\(F\)中讨论的，最多也只在二阶曲面里使用了“代数闭域”。但实数域作为真实世界的模型，也是欧氏几何的所在域，更有其独特的性质和意义。为了在后续讨论中能够自由地使用实数，我们接续上一篇的结合公理，增补实数域所必须的顺序公理。这组公理重在为直线上的点建立 阅读全文

摘要： 上一篇我们用一组结合公理在射影空间的直线上构建了代数域（体），并且将射影空间的元素用齐次坐标彻底代数化。本篇开始就让这个代数工具大显身手，进一步深入探究射影几何的诸多性质。 1. 射影几何 1.1 射影几何与交比 大部分教材绕开了结合公理，直接用线性空间定义射影几何，在方便理解的同时却丢失了数学的核 阅读全文

摘要： 上一篇我们扩展了仿射空间，并在其上定义了交比和射影变换。同素性和关联性是射影不变性，（点列和线束）交比是射影不变量，现在我们就要以这些射影性质为启发，抽象并构建新的几何空间。但这一次要做得更彻底，不同于仿射几何对于欧氏几何做减法，我们要从零开始建立射影几何，并顺带推广仿射几何与欧氏几何。是的，你将不 阅读全文

摘要： 1. 增补仿射空间 1.1 点透视的启发 在第一篇中说到，圆锥面对于不同平面的截面构成了我们熟悉的二次曲线（圆、椭圆、抛物线、双曲线），因此它们也被称为圆锥曲线。至于为什么会是这样，最直观的证明就是著名的丹德林（Dandeline）双球模型。上一篇中圆柱截面为椭圆的证明，放在圆锥中依然适用。下图则演 阅读全文

摘要： 1. 仿射几何 1.1 前言 在切入正题之前，有必要再重申一下“埃尔朗根纲领”的主要思想：“几何学就是研究某类变换的不变性”。一般来说，我们终究是为了获得现实空间中的几何性质，但某个特定问题不一定关系到空间中的所有属性，在思考和使用工具时这些属性势必成为干扰限制、甚至障碍。几何变换则是让无关属性“动 阅读全文

摘要： 【本系列目录】 01 - 古典与现代的结合 02 - 仿射几何 03 - 射影变换 04 - 射影结合公理 05 - 射影几何 06 - 一般仿射几何 博客总目录 1. 源起 数学里冠以“高等”字眼的课程，一般只是相对于中学数学而言的，因此大家先不必紧张，而真正高深的课程往往拥有最“朴素”的名称。不 阅读全文

摘要： 本篇我们将对测度做更一般的讨论，以将其推广到更大的范围。 1. 变数变换和L-S测度 1.1 变数变换 我们知道，测度是一个集函数，也就是子集到实数的映射。如果定义两个基本空间的映射\(\varphi:\,X_1\to X_2\)，就有可能建立两个测度空间的关联。具体来说，假定\(\varphi\) 阅读全文

摘要： 1. 有界变差函数 1.1 有界变差函数及性质 我们已经看到，单调函数有着很好的微分性质，但单调函数又过于“简单”了，更一般的函数都会有上下起伏。那要做怎样的限定才能保证函数既够“简单”又够“一般”呢？现在来讨论“起伏之和”有限的函数。记\(f(x)\)是\([a,b]\)上的有限函数，并取\([a 阅读全文

摘要： 建立完积分的理论后，现在来讨论微分、以及牛顿-莱布尼兹定理。因为涉及导函数的积分，自然要求导数几乎处处存在，而这类函数的全体过于复杂，很难得出一般性结论。这时我们不妨从“简单函数”入手，先探讨出基础的结论，然后把函数延展到更普遍的范围。本篇和下一篇就在Lebesgue积分上讨论这些问题，你可以把相应 阅读全文

摘要： 1. 积分的极限 积分与极限运算的交换，是数学分析中的重要工具。但在Riemann积分中，运算交换需要较强的条件，特别是麻烦的“一致收敛性”。然而“一致收敛性”并不是运算交换的必要条件，但是从Riemann积分的定义出发，却很难再有进一步的弱化条件。本篇你将看到，在基于测度的积分上，极限性质只需一些 阅读全文