万物皆数

摘要： 1. 正规变换 1.1 伴随变换 在上一篇的最后我们看到，满足一定内积性质的线性变换可以有很好的不变子空间分割，现在对更一般的形式进行讨论。设内积空间中有\(V=W\oplus W^{\perp}\)，且\(W\)是线性变换\(\mathscr{A}\)的不变子空间，任取\(\alpha\in W, 阅读全文

摘要： 1. 内积空间 1.1 欧几里得空间 线性空间在添加了双线性的运算后，向量之间建立了简单的正交、非正交的关系。数域是最常见的域，它天生就带着度量的使命，所以在数域的线性空间中，我们不能回避向量间的度量。所谓度量就是用一个数表示向量之间的关系，并衍生出长度、距离和角度的概念，而在度量上最“完备”的数域 阅读全文

摘要： 1. 线性函数 1.1 \(k\)重线性函数 前面讨论了纯代数意义上的线性空间，在实际场景中，我们经常需要处理向量的度量。度量一般表现为向量的函数，比如行列式可以看成是\(n\)个行（列）向量的函数，矩阵之积的每一个元素其实就是一个行向量和一个列向量的函数。严格来讲，对域\(F\)上的线性空间\(V 阅读全文

摘要： 现在就来研究将空间分割为不变子空间的方法，最困难的是我们还不知道从哪里着手。你可能想到从循环子空间出发，一块一块地进行分割，但这个方案的存在性和唯一性都不能解决。不变子空间分割不仅要求每个子空间\(V'\)是不变的，还隐含要求\(V'\)之外元素的像不落在\(V'\)中，这一条就导致从局部开始分割的 阅读全文

摘要： 之前的概念只是线性代数中最基本的工具，而线性代数最核心的内容在这里才刚刚开始。我们知道，代数的对象是结构，而代数的核心则是变换。结构间的变换不光揭露了它们之间的本质关系，它还是了解结构本身深层属性的有力工具。变换本身没有什么，我们更关注的其实是变中的不变，不变量则又是变换的核心。 1. 线性映射 1 阅读全文

摘要： 1. 矩阵和秩 1.1 矩阵的定义 前面我们在不定义的情况下，一直在使用着矩阵，那些场合中矩阵仅仅是一些数的纵横排列，它只有符号的意义，而没有代数的性质。在继续讨论之前，先严格定义一下\(n\times m\)阶矩阵（matrix）：它由\(nm\)个环元素排成\(n\)行\(m\)列（式（1））， 阅读全文

摘要： 1. 行列式的定义 线性方程组中比较常见的是\(m=n\)的情况，我们想知道这种方程组什么时候有唯一解？并且如何用系数表示这个唯一解？对于元数较少的方程，可以直接用消元法得到解的具体公式，比如（1）式就是二元方程组的公式解。公式中重复出现了模式\(ab-cd\)，这个模式不仅能判断方程组是否有唯一解 阅读全文

摘要： 大部分教材一开始便会讨论行列式和矩阵，这当然是从实用的角度编排的。我们这里则更关注学科的完整性和概念的连贯性，从线性代数的基础研究对象讨论起。在抽象代数中我们已经意识到，代数学其实就是一门关系结构学，不同的学科差别只是所研究的具体结构不同而已。 1. 线性空间 1.1 向量和线性空间 线性代数讨论的 阅读全文

摘要： 【本系列目录】 01 - 古老的新学科 02 - 线性空间 03 - 行列式 04 - 矩阵 05 - 线性变换 06 - Jordan标准型 07 - 线性函数 08 - 线性空间的度量 09 - 正规变换和二次型 博客总目录 线性代数（Linear Algebra）这门学科大家并不陌生，如果有人 阅读全文

摘要： 1. 正规扩域 在研究域\(F\)的代数扩张\(E\)时，首要的前提是扩域\(E\)是存在的，其次还要让所有扩域在同一个空间，即它们之间是可运算的。满足这样条件的空间便是\(F\)的代数闭包，使用集合论的语言，代数闭包可以描述成所有多项式的分裂域之并。这个定义合法性其实还是需要推敲的，你可以结合代数 阅读全文