【几何基础】01 - 几何的公理系统
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1. 历史背景
前面我们已经整理了代数和分析的基础知识，其中让我收获最大的，便是利用公理化思想给出模型的基本元素，然后逐步讨论模型中的基本问题。这让我们意识到，数学是建立在纯逻辑之上的，它的结论并不对具体事物负责，然而由于其模型抽象自诸多事物的共性，这些结论却又有着普遍的实用性。作为最古老的学科之一的几何学，自然也是对客观事物的抽象，几何理论体系的建立，同样要有简单清晰的模型和严格的逻辑推理。
几何对象来自于直观世界的图像，它们从诞生之初就带有天生的视觉特性，这使得几何在发展之初更多地还是依赖直觉。相信你即使现在随便拿到一道几何题，就可以进行自己的推理，好似没有任何知识障碍，那些推理的依据也都“显而易见、本该如此”。但直觉总会局限人们的认知，这种“显然”的推理方法把我们限制在了这个叫做“欧几里得”的空间里。那么在广义的空间里，还会产生哪些不同的几何？它们共同的起点在哪里？又在哪里产生了分叉？最终将走向如何迥异的世界？
在起点这里，我们还不能讨论更多的几何空间，而是从最为熟悉的欧几里得空间出发，探究直觉几何的根基到底在哪里。也就说找出最基本的几何对象、以及它们的基本关系，用最简单清晰的模型描述欧式几何的本质。其实早在古希腊时期，人们就已经进行了深入的尝试，并取得了丰硕的成果，欧几里得的《几何原理》中，着重阐述了那时的几何公理系统。虽然从现在的角度看，《几何原理》有非常多的缺点，但在历史上确是一部丰碑式的著作。随后两千年的几何教材、乃至我们的初中课本，都是以它为蓝本编撰的。
直到20世纪初，希尔伯特的《几何基础》以排头兵的角色，掀起了公理化运动的浪潮。人们开始重新探究几何的本质，并寻找它的不同可能性。它以更加简单的模型描述了欧几里得空间的基本元素，并对公理的相容性、独立性和完备性做了详尽的讨论。经过几代人的打磨，《几何基础》已经是比较完美的公理系统，并可以完全取代《几何原理》的位置。如果你想了解真正的数学，但又碍于知识缺乏，那不妨从几何基础开始，抛开直觉和成见，重新认识数学研究的过程和意义。
2. 基本概念
任何数学结构本质上就是研究基本元素和它们的基本关系，那么几何中的基本元素是什么呢？不知是受物理学中分子学说的影响、还是受解析几何的干扰，我们会毫不犹豫地说：几何的基本元素是点，它组成了一切几何对象，包括直线和平面。但在数学上，这样的模型需要有代数系统的支持，那是一条已经走过的路。如果我们想要在直观几何上走得更远，则必须重新看待所研究的几何对象。由于欧几里得空间的三维特性，我们就不妨把每一维中新添加的元素作为讨论的起点。
一维空间中组成元素就是点，到了二维空间就产生了线的概念，三维空间则又添加了面的概念。为此，我们的起点就是不加定义的三组对象：点（\(A,B,C,\cdots\)）、直线（\(a,b,c,\cdots\)）、平面（\(\alpha,\beta,\gamma,\cdots\)）。注意，现在开始我们就要抛弃点组成直线和平面的说法，而把它们看成三组基本对象，并在此之上讨论三种对象的关系。在诸多复杂的关系中，人们发现了三个本质不同的关系：关联、介于、合同。
关联关系其实描述了三组对象的从属关系，它产生于之前的点组成直线、平面的思想，只不过被抽象成了一种关系（非包含）。介于关系则说明了几何对象的空间顺序，这使得对象不再是散乱的，而是有序地组织起来的，这种规则性使得三组集合具有了空间的特性。合同关系则是为空间引入了度量的概念，其中包括线段和角度的度量，由此便可以产生长度、面积、体积的概念。这三种关系是通过三组公理进行定义和阐述，它们是公理系统中最为重要的部分，由此便可以推导出大部分“直观”的几何结论。
希尔伯特的几何公理可以被清晰地分为五组，除了定义了三大关系的三组公理，还有平行公理和连续公理来限制公理系统，使之等同于我们需要的欧几里得空间。比如平行公理可以确定三角形的内角和为一个平角，连续公理和完备公理（分在连续公理一组）则把空间度量的范围、精度等同于了实数空间。以下阐述五组公理时，我作了适当的合并或拆分，并且修改部分表述方法，只为了使理解更加畅快简单。虽然没有发生本质的变动，还是请阅读后再参考一下课本的完整阐述。
为叙述方便，还要作以下声明：以下公理中，不带撇号修饰的不同的字母表示不同的对象，而相同字母不带修饰和代修饰之间可以是相同的对象。比如\(A,B,C\)表示三个不同的点，而\(a,a'\)则可能是同一直线、也可能不是。
3. 关联公理
关联公理抽象自直觉概念中的“属于”关系，但这里点、线、面是三个独立的概念，并且“关联”仅定义在点线之间和点面之间。在不产生歧义的情况下，今后我们仍然可以用“点属于线（面）”、“点在线（面）上”、“线（面）经过点”这样的口语，在这里等同于公理所定义的“关联”关系。顺便提一下，在抛弃“点组成学说”的同时，这里我们也大可抛弃“所有点（线、面）”、“线上的所有点”、“过点的所有直线”之类的概念，而把关注点放在问题所涉及到的对象即可。而这些对象在特定的问题中往往是有限的，这样的假设大大简化了问题的模型。
\(I.\) 关联公理
\(I_1.\) 对任意两点\(A,B\)，有且仅有一直线\(a\)与\(A,B\)都关联。
\(I_2.\) 任一直线上至少有两个点；直线外至少有一个点。
\(I_3.\) 对任意不共线的三点\(A,B,C\)，有且仅有一平面\(\alpha\)与它们都关联。
\(I_4.\) 任一平面上至少有一个点；平面外至少有一个点。
\(I_5.\) 若直线\(a\)上有两点\(A,B\)属于平面\(\alpha\)，则\(a\)上的所有点都属于平面\(\alpha\)。
\(I_6.\) 若平面\(\alpha,\beta\)有一个公共点\(A\)，则它们至少还有一个公共点\(B\)。
公理\(I_1\)、\(I_3\)是点与直线（平面）关联关系的最直接描述，由它们直接可以推导出：两条不同的直线最多只能有一个交点，两个不同的平面不能有三个不共线的交点。公理\(I_2\)、\(I_4\)对空间对象作了最小的假设，前半句其实已经足够展开后续的讨论，后半句则将空间直接拓展到三维空间。这套公理系统直接在三维空间中进行讨论，使得一些在一维、二维难以建立的性质更快捷地建立起来。结合这几个公理，不难得到另一个确定平面的结论：过一直线和直线外一点可确定唯一平面；过两条相交的直线可确定唯一平面。
公理\(I_5\)、\(I_6\)则是讨论了直线和平面的关系。首先\(I_5\)说明：直线要么全部在平面上、要么和平面有不超过一个共同点。结合公理\(I_6\)还可知，若两个平面有交点\(A\)，则必定相交于一条过点\(A\)的直线。再结合\(I_3\)，两个不同平面的交点必须全部在直线\(a\)上，也就是说：两个不同平面要么没有交点，要么交于一条直线。
以上简短的讨论中，有关于直线、平面之间相交的结论，但仅仅属于定性的讨论。我们目前对一些定量的问题仍然没有答案，比如过直线\(a\)外一点\(A\)且和\(a\)（不）相交的直线有多少？过平面\(\alpha\)外一点\(A\)且和\(\alpha\)（不）想交的直线（平面）有多少？这些定量的问题无法用关联公理回答，还必须引入更多的空间和度量的概念，请带着这些问题学习以下的公理。另外还需要提醒，不要理所当然地把这里的“点线面”对应到我们惯常的几何对象，尝试构造一个满足公理但比较“扭曲”的空间，更能帮助你正确看待“点线面”。
【前序学科】抽象代数
【参考资料】
[1] 《希尔伯特几何基础（珍藏版）》，希尔伯特，2009
希尔伯特给欧几里得的几何公理化，画上了完美的句号，也开启了新时代几何的探索。主体部分不难懂，附录我没有看，建议仔细阅读导读和注释部分。
