cold_jelly 的小窝

摘要： 二分图 如果一张无向图 \(G=(V,E)\) 存在点集 \(A,B\)，满足 \(|A|,|B|\ne \varnothing\) 且 \(A\cap B=\varnothing,A\cup B=V\)，且不存在这样的边 \((u,v)\) 满足 \(u,v\in A(\text{or }u,v\ 阅读全文

摘要： 定义：给定一张图 \(G\)，若存在一条从 \(S\) 到 \(T\) 的路径，恰好不重不漏地经过每一条边一次，则称该路径为 \(S\) 到 \(T\) 的欧拉路径。 定义：给定一张图 \(G\)，若存在一条从 \(S\) 出发，恰好不重不漏地经过每一条边一次，最终回到 \(S\) 的回路，则称该回 阅读全文

摘要： 前置知识：点双连通分量。 圆方树的构建 圆方树是一种将图变成树的方法。 顾名思义，圆方树上的节点分为圆点和方点两种。其中圆点为原图中的节点，而方点是每个 v-DCC 缩点后得到的点。因此若原图包含 \(n\) 个节点以及 \(s\) 个 v-DCC，那么构建出来的圆方树就包含 \(n+s\) 个节点 阅读全文

摘要： 无向图的必经边问题 问题：给定一张无向图，求点 \(S\) 到点 \(T\) 的所有路径中必须经过的边。 考虑到这个“必经边”一定是割边，我们很容易想到用 e-DCC 来解决这个问题。 分类讨论： 当 \(S\) 和 \(T\) 属于同一个 e-DCC 时，无必经边； 当 \(S\) 和 \(T\) 阅读全文

摘要： 点双连通分量（v-DCC）是另一种无向图的双连通分量。 无向图的割点与 v-DCC 对于一张连通的无向图，如果我们将其中一个点及其关联边删去，将会将无向图分裂为若干连通块，那么我们称这条边为无向图的割点。例如下图展示了一个无向图的所有割点： 下图演示了将其中一个割点及其关联边删去后得到的连通块： 而 阅读全文

摘要： 在有向图中有强连通分量（SCC）这一概念，类似地在无向图中有边双连通分量（e-DCC）和点双连通分量（v-DCC）的概念。 无向图的割边与 e-DCC 对于一张连通的无向图，如果我们将其中一条边删去，将会将无向图分裂为两个连通块，那么我们称这条边为无向图的割边。例如下图展示了一个无向图的所有割边（红 阅读全文

摘要： 2-SAT 问题的基本模型与建图方法 考虑这样一个问题：给定 \(n\) 个 bool 变量，以及 \(m\) 个条件，每个条件表述为两个变量之间的一条限制关系，求满足所有限制条件的 \(n\) 个 bool 变量的一组合法解。 这个问题被称为 2-SAT 问题。其最原始的最板的问题是： 给定 \( 阅读全文

摘要： 强连通分量是有向图中的重要概念。 对于有向图 \(G=(V,E)\)，如果 \(\forall u,v\in V\)，既能从 \(u\) 走到 \(v\)，又能从 \(v\) 走到 \(u\)，那么称有向图 \(G\) 是强连通的，而有向图里的极大强连通子图被称为该有向图的一个强连通分量（SCC）。 阅读全文

摘要： 差分约束系统及其解的存在性 考虑给定 \(n\) 元一次不等式组： \[\left\{\begin{matrix} x_{i_1}-x_{j_1}\le C_1 \\ x_{i_2}-x_{j_2}\le C_2 \\ \dots \\ x_{i_k}-x_{j_k}\le C_k \end{mat 阅读全文

摘要： 对于有权无向图 \(G=(V,E)\)，称由 \(G\) 中全部 \(n\) 个顶点以及 \(n-1\) 条边构成的连通图 \(G'\subset G\) 为图 \(G\) 的一棵生成树，而图 \(G\) 的所有生成树里边权和最小的被称为图 \(G\) 的最小生成树（MST）。 Kruskal 算法 阅读全文