摘要：
2-SAT 问题的基本模型与建图方法 考虑这样一个问题：给定 \(n\) 个 bool 变量，以及 \(m\) 个条件，每个条件表述为两个变量之间的一条限制关系，求满足所有限制条件的 \(n\) 个 bool 变量的一组合法解。 这个问题被称为 2-SAT 问题。其最原始的最板的问题是： 给定 \( 阅读全文
posted @ 2025-07-24 19:57
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摘要：
强连通分量是有向图中的重要概念。 对于有向图 \(G=(V,E)\)，如果 \(\forall u,v\in V\)，既能从 \(u\) 走到 \(v\)，又能从 \(v\) 走到 \(u\)，那么称有向图 \(G\) 是强连通的，而有向图里的极大强连通子图被称为该有向图的一个强连通分量（SCC）。 阅读全文
posted @ 2025-07-23 20:15
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差分约束系统及其解的存在性 考虑给定 \(n\) 元一次不等式组： \[\left\{\begin{matrix} x_{i_1}-x_{j_1}\le C_1 \\ x_{i_2}-x_{j_2}\le C_2 \\ \dots \\ x_{i_k}-x_{j_k}\le C_k \end{mat 阅读全文
posted @ 2025-07-23 10:57
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对于有权无向图 \(G=(V,E)\)，称由 \(G\) 中全部 \(n\) 个顶点以及 \(n-1\) 条边构成的连通图 \(G'\subset G\) 为图 \(G\) 的一棵生成树，而图 \(G\) 的所有生成树里边权和最小的被称为图 \(G\) 的最小生成树（MST）。 Kruskal 算法 阅读全文
posted @ 2025-07-22 21:53
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给定 \(n\) 个物品，每个物品有两个属性 \(a,b\)，我们需要从里面选一些出来，求 \(\dfrac{\displaystyle\sum a_i}{\displaystyle\sum b_i}\) 的最小/大值。 更数学一点表述，我们可以将这个问题抽象为这样一个模型：已知数列 \(\{a_n 阅读全文
posted @ 2025-07-22 17:11
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分层图，顾名思义，就是分成若干层的图，也就是一个立体结构，这一类题的难点在于如何根据题目信息建出合适的图。我们以例题分析。 例题 \(1\)：P4568 [JLOI2011] 飞行路线：在普通单源最短路问题的基础上添加了 \(k\) 次“\(0\) 元券”机会。 首先对于样例先建出一层图： 考虑如何 阅读全文
posted @ 2025-07-22 10:57
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摘要：
Floyd 算法求全源最短路 全源最短路问题是指对于一张图，要求图上任意两点之间的最短路径长度的问题。我们当然可以以每个节点为起点跑 \(n\) 遍单源最短路，但 Floyd 算法给出了一种更为简洁的求法。 我们按照 DP 的思想理解 Floyd 算法，设计 \(f(i,j)\) 表示从 \(i\) 阅读全文
posted @ 2025-07-22 09:10
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前置知识：图的基本概念、图的存储、图的遍历。 注 \(1\)：以下对于图 \(G=(V,E)\)，统一用 \(n=|V|\) 表示点数、\(m=|E|\) 表示边数，且默认 \(G\) 中节点按照 \([1,n]\) 编号。 注 \(2\)：函数 \(dist(i,j)\) 表示节点 \(i\) 到 阅读全文
posted @ 2025-07-21 20:47
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前置知识：KMP 算法（了解思想）、Trie。 问题：给定 \(n\) 个模式串和 \(1\) 个文本串，求解有多少个模式串在文本串中出现过。 朴素的想法是做 \(n\) 次 KMP，但时间复杂度太高，难以接受，这时就要用到 AC 自动机了。 AC 自动机的基本思想 假设现在的文本串为 \(s=\t 阅读全文
posted @ 2025-07-18 20:05
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回文串 通俗地讲，如果一个字符串正着读和反着读都一样，那么这个字符串被称为回文字符串，简称回文串。也就是说，如果字符串 \(s\) 满足： \[\boxed{\forall i\in [1,|s|],s[i]=s[|s|-i+1]} \]则 \(s\) 为回文串。 对于一个回文串 \(s\)，如果其 阅读全文
posted @ 2025-07-18 16:19
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