【图论】总结 10：无向图的必经边与必经点

无向图的必经边问题

问题：给定一张无向图，求点 \(S\) 到点 \(T\) 的所有路径中必须经过的边。

考虑到这个“必经边”一定是割边，我们很容易想到用 e-DCC 来解决这个问题。

分类讨论：

• 当 \(S\) 和 \(T\) 属于同一个 e-DCC 时，无必经边；
• 当 \(S\) 和 \(T\) 不属于同一个 e-DCC 但连通时，此时将 e-DCC 缩点后，两个 e-DCC 在缩点后形成的树上路径的边即为必经边（可看下图）；

• 当 \(S\) 和 \(T\) 不连通时，无必经边。

例题：AcWing 397 逃不掉的路，求必经边的边数。

无向图的必经点问题

问题：给定一张无向图，求点 \(S\) 到点 \(T\) 的所有路径中必须经过的点。

必经点一定是割点，类似于求必经边，我们采用 v-DCC 来解决。

分类讨论：

• 当 \(S\) 和 \(T\) 属于同一个 v-DCC 时，无必经点；
• 当 \(S\) 和 \(T\) 不属于同一个 v-DCC 但连通时，此时将 v-DCC 缩点后，两个 v-DCC 在缩点后形成的树上路径经过的割点（缩点后的，不包括 v-DCC 内的割点）即为必经点；
• 当 \(S\) 和 \(T\) 不连通时，无必经点。

例题：P5058 [ZJOI2004] 嗅探器。