【图论】总结 11：欧拉路径与欧拉回路

定义：给定一张图 \(G\)，若存在一条从 \(S\) 到 \(T\) 的路径，恰好不重不漏地经过每一条边一次，则称该路径为 \(S\) 到 \(T\) 的欧拉路径。

定义：给定一张图 \(G\)，若存在一条从 \(S\) 出发，恰好不重不漏地经过每一条边一次，最终回到 \(S\) 的回路，则称该回路为图 \(G\) 的欧拉回路。存在欧拉回路的无向图被称为欧拉图。

欧拉路径的存在性判定

对于一张连通的图，我们可通过节点的度数来判断图中是否存在欧拉路径。

定理：对于无向图，其存在欧拉路径的充分必要条件是：度数为奇数的点只能有 \(0\) 或 \(2\) 个。当奇点为 \(2\) 个时，这两个奇点就是欧拉路径的起点和终点。

简单证明一下，由于我们要找的欧拉路径满足恰好不重不漏地经过每一条边一次，那么对于一个节点，我们必然要经过其偶数次才能保证其能够进入一次然后出去一次，因此如果度数为奇数，那么其一定是出去了回不来或者进来了出不去，即起点和终点。

定理：对于有向图：其存在欧拉路径的充分必要条件是：所有点的入度 \(d^-(u)\) 都等于出度 \(d^+(u)\) 或者只有两个点 \(S,T\) 不满足上面的条件，而这两个点满足 \(d^+(S)=d^-(S)+1\)，\(d^-(T)=d^+(T)+1\)，那么 \(S\) 为起点，\(T\) 为终点。

证明方法同上，每个点出入度抵消才保证不重不漏，而不抵消也要保证至少相差 \(1\)，这样才使起点多余的出度恰对应终点多余的入度。

欧拉回路的存在性判定

定理：对于无向图，其存在欧拉回路的充分必要条件是：没有度数为奇数的点。

定理：对于有向图，其存在欧拉回路的充分必要条件是：\(\forall u\in V,d^-(u)=d^+(u)\)。

可以发现，欧拉回路的存在性判定条件是比欧拉路径的判定条件更强的，因为欧拉回路本身就是一种特殊的欧拉路径嘛。

模板题 AcWing 1186：给定一个整数 \(t\)，\(t\in\{1,2\}\)，如果 \(t=1\)，表示所给图为无向图，如果 \(t=2\)，表示所给图为有向图。
接下来给定一张图的点数 \(n\) 和边数 \(m\)，并给出 \(m\) 条无向（有向）边。图中可能有重边也可能有自环。点的编号从 \(1\) 到 \(n\)。
如果不存在欧拉回路，输出 NO；否则输出 YES，并输出具体方案。

判无解用上面的定理判断即可，此外还要判断边连不连通。

我们跑一遍 DFS，然后在每跑完一条边时就将它删去，时间复杂度 \(O(n+m)\)。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10, M = 4e5 + 10;
int type;
int n, m;
int h[N], e[M], ne[M], idx;
bool used[M];//标记边是否走过
int ans[M / 2], cnt;//记录答案
int din[N], dout[N];//入度和出度
void add(int a, int b)
{
	e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++;
}
void dfs(int u)
{
	for(int &i = h[u]; ~i;)
	{
		if(used[i])
		{
			i = ne[i];
			continue;
		}
		used[i] = true;
		if(type == 1) used[i ^ 1] = true;//对于无向图，反边也要标记
		int t;
		if(type == 1)
		{
			t = i / 2 + 1;
			if(i & 1) t = -t;
		}
		else t = i + 1;
		int j = e[i];
		i = ne[i];
		dfs(j);
		ans[++ cnt] = t;
	}
}
int main()
{
	cin >> type;
	scanf("%d%d", &n, &m);
	memset(h, -1, sizeof h);
	for(int i = 0; i < m; i ++)
	{
		int a, b;
		scanf("%d%d", &a, &b);
		add(a, b);
		if(type == 1) add(b, a);
		din[b] ++, dout[a] ++;
	}
	if(type == 1)
	{
		for(int i = 1; i <= n; i ++)
			if(din[i] + dout[i] & 1)
			{
				puts("NO");
				return 0;
			}	
	}
	else
	{
		for(int i = 1; i <= n; i ++)
			if(din[i] != dout[i])
			{
				puts("NO");
				return 0;				
			}		
	}
	for(int i = 1; i <= n; i ++)
		if(h[i] != -1)
		{
			dfs(i);
			break;
		}
	if(cnt < m)//图不连通 
	{
		puts("NO");
		return 0;		
	}
	puts("YES");
	for(int i = cnt; i; i --) printf("%d ", ans[i]);//反向输出
	return 0;
}