cold_jelly 的小窝

摘要： 巴什博弈 问题：\(2\) 人玩游戏，共有 \(n\) 个石子，每人每次可以取 \([1,k]\) 个石子，最后一次取石子的人获胜，问先手何时必胜？ 结论：巴什博弈先手必败，当且仅当 \((k+1)\mid n\)，否则先手必胜。 证明：分类讨论。 \(n\le k\)：这时候先手可以一次性取完； 阅读全文

摘要： 前言 DP 一直蒻下去不太好，得逼自己复健一下 DP 了。 感觉自己在 DP 这一块始终没有一个完整的做题思路，选择推倒重建。 DP 与爆搜与记忆化搜索 不考虑最优子结构、状态转移方程这一些之乎者也式的高深词汇，先来讲讲 DP 和爆搜的联系。 比如说在考试时拿到一道题目，我们可以先想到一个暴力的搜索 阅读全文

摘要： 树状数组是一种能够动态维护序列前缀和的数据结构。 树状数组的基本原理 先贴个图： 对于一个给定的长度为 \(n\) 的序列 \(a\)，我们建立一个数组 \(tr\)，其中： \[\boxed{tr[x]=\sum^{x}_{i=x-\text{lowbit}(x)+1}a[i]} \]\(\tex 阅读全文

摘要： 二分图最小点覆盖 给定二分图 \(G=(V,E)\)，求最小的点集 \(V'\) 使得图中任意一条边都至少有一个端点属于 \(V'\)。这个问题称为二分图的最小点覆盖问题。 对于最小点覆盖问题，我们有： 定理：二分图的最小点覆盖问题等价于求二分图的最大匹配。若二分图的最小点覆盖为 \(V'\)，最大 阅读全文

摘要： 二分图 如果一张无向图 \(G=(V,E)\) 存在点集 \(A,B\)，满足 \(|A|,|B|\ne \varnothing\) 且 \(A\cap B=\varnothing,A\cup B=V\)，且不存在这样的边 \((u,v)\) 满足 \(u,v\in A(\text{or }u,v\ 阅读全文

摘要： 定义：给定一张图 \(G\)，若存在一条从 \(S\) 到 \(T\) 的路径，恰好不重不漏地经过每一条边一次，则称该路径为 \(S\) 到 \(T\) 的欧拉路径。 定义：给定一张图 \(G\)，若存在一条从 \(S\) 出发，恰好不重不漏地经过每一条边一次，最终回到 \(S\) 的回路，则称该回 阅读全文

摘要： 前置知识：点双连通分量。 圆方树的构建 圆方树是一种将图变成树的方法。 顾名思义，圆方树上的节点分为圆点和方点两种。其中圆点为原图中的节点，而方点是每个 v-DCC 缩点后得到的点。因此若原图包含 \(n\) 个节点以及 \(s\) 个 v-DCC，那么构建出来的圆方树就包含 \(n+s\) 个节点 阅读全文

摘要： 无向图的必经边问题 问题：给定一张无向图，求点 \(S\) 到点 \(T\) 的所有路径中必须经过的边。 考虑到这个“必经边”一定是割边，我们很容易想到用 e-DCC 来解决这个问题。 分类讨论： 当 \(S\) 和 \(T\) 属于同一个 e-DCC 时，无必经边； 当 \(S\) 和 \(T\) 阅读全文

摘要： 点双连通分量（v-DCC）是另一种无向图的双连通分量。 无向图的割点与 v-DCC 对于一张连通的无向图，如果我们将其中一个点及其关联边删去，将会将无向图分裂为若干连通块，那么我们称这条边为无向图的割点。例如下图展示了一个无向图的所有割点： 下图演示了将其中一个割点及其关联边删去后得到的连通块： 而 阅读全文

摘要： 在有向图中有强连通分量（SCC）这一概念，类似地在无向图中有边双连通分量（e-DCC）和点双连通分量（v-DCC）的概念。 无向图的割边与 e-DCC 对于一张连通的无向图，如果我们将其中一条边删去，将会将无向图分裂为两个连通块，那么我们称这条边为无向图的割边。例如下图展示了一个无向图的所有割边（红 阅读全文